Matematické Fórum

domek · 21. 02. 2010 17:57

Dobrý den.

Už nějakou chvíli řeším příklad, který nemohu vyřešit.

Jak název tématu napovídá, jedná se o useknutou špičku jehlanu šikmou plochou.

Pokoušel jsem se použít metod integrálního počtu. Mé výsledky jsem uvedl do obrázku níže. Vzorečky jsem několikrát přepočítal, takže jsou určitě správně.
Abych si oveřil i praktickou funkčnost, použil jsem software Origami 3D.

Origami se mnou souhlasí ve všem, až na výpočet objemu. Přikláním se k Origami, neboť jsem si její výsledky oveřil i prakticky s kbelíkem vody a papírovým modelem :-).

Pro délku x jsem volil hodnotu 5.
Pak podle mého vzorečku vyšel objem 34cm3.
Podle origami je to 13cm3.

Kondr · 21. 02. 2010 20:06

↑ domek: Co se mi nepozdává:
- plochu S počítáš jako by šlo o obdélník
- objem počítáš integrálem z S přes k, přitom plocha S není na směr k kolmá

domek · 21. 02. 2010 20:27

Počítám obsah lichoběžníku, což je správně.

Dále jsem si vyjádřil x přes k. Strany lichoběžníku jsou pro různé k vždy ve stejném poměru.

Objem jsem tedy chtěl spočítat jako součet obsahů pro k v intervalu od 0 do .. (viz. obrázek).

Kondr · 21. 02. 2010 20:38

domek napsal(a):
Objem jsem tedy chtěl spočítat jako součet obsahů pro k v intervalu od 0 do .. (viz. obrázek).

Takto bohužel integrály nefungují.

A ještě mi není jasné, kde se vzalo $\alpha=\pi/8$ ...

domek · 21. 02. 2010 20:44

Ve škole nás učili, že integrál je "jakoby" součet malinkých části. Proto jsem postupoval takto.
Jako malinkou část jsem si představil ten obsah.

Pak jsem si taky říkal, že objem přes integrál ano, ale to asi platí pro dvojné integrály a jejich hodnoty pod plochou.
Od této chvíle jsem nevěděl jak dál.

Ten úhel plyne z předchozích výpočtů. Je to polovina 45°. Ten obrázek není přesný, slouží jen jako ilustrace.

Kondr · 21. 02. 2010 21:06

Integrovat můžeš plochu, ale musíš přes výšku. Proto by stačilo tvůj výsledek vynásobit cosinem úhlu, který svírá zelená úsečka s kolmicí na zelenou plochu.

Stále ale nevím, kde se vzal ten úhel $\alpha$ , je-li to polovina úhlu mezi hranami jehlanu, mělo by to být $\pi/6$ . A také stále nevím, proč by mělo platit S=vx/2.

kaja(z_hajovny) · 21. 02. 2010 21:29

Me to prijde, ze ten uhel alfa tam je vyznaceny mezi mimobezkami, ktere se na obrazku zdanlive protnou ve vrcholu.

domek · 21. 02. 2010 22:58

↑ Kondr:
Ten úhel alfa je zcela nepodstatný.
Pokud je důležité dojít k S. Tak S je vyjádřeno ze vzorečku pro výpočet obsahu lichoběžníku. Základna + protější strana a to celé vynásobenou polovinou výšky.

Lichoběžník, jehož plocha se právě řeší, je rovnoramenný, což je vidět z obrázku.

Vyjádření S zelené plochy je obecné pro různé x. Je to upravené.

Opět bych chtěl připomenout, že se jedná již o závěrečné výpočty. Potřeboval bych jen poradit s výpočtem objemu. Veškeré uvedené informace jsou OK. Obrázek je ilustrativní.

domek · 21. 02. 2010 23:00

↑ kaja(z_hajovny):
Úhel alfa, povšimněme si zelené barvy, je zelený. To proto, že je to úhel mezi úsečkou k a stranou jehlanu.
Jaké mimoběžky?
Obrázek je ilustrativní.

Kondr · 21. 02. 2010 23:58

↑ domek:(Základna + protější strana)*výška/2 je samozřejmě správně. Ale vzoreček, který jsii napsal, je pouze základna *výška/2.

S tím úhlem alfa se omlouvám, zapomněl jsem, že pravidelný jehlan nemusí mít všechny stěny rovnostranné trojúhelníky.

Každopádně myslím, že integrovat se musí přes výšku, což umíme i bez integrálu (vynásobíme výškou a vydělíme třemi). Jde tedy o to určit správě výšku toho tělesa.

domek · 22. 02. 2010 12:29

↑ Kondr:

Určitě se na to dnes mrknu, díky za tip.

domek · 15. 06. 2012 12:58

Useknutá špička jehlanu je opět jehlanem.

Takže jak psal Kondr,
objem jehlanu jsem spočítal podle klasického vzorečku
$V = \frac{S_p \cdot v}{3}$ .

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2010 17:57

Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#2 21. 02. 2010 20:06

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#3 21. 02. 2010 20:27

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#4 21. 02. 2010 20:38

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

domek napsal(a):

#5 21. 02. 2010 20:44

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#6 21. 02. 2010 21:06

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#7 21. 02. 2010 21:29

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#8 21. 02. 2010 22:58

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#9 21. 02. 2010 23:00

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#10 21. 02. 2010 23:58

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#11 22. 02. 2010 12:29

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

#12 15. 06. 2012 12:58

Re: Objem useknuté špičky pravidelného čtyřbokého jehlanu.

Zápatí