Matematické Fórum

domek · 15. 06. 2012 12:29

Dobrý den.

Úspořádaná dvojice se definuje pomocí neuspořádané dvojice.
$(x, y) \stackrel{\text{def}}{=} \{\{x\}, \{x, y\}\} = \{\{x\}, \{y, x\}\} = \{\{x, y\},\{x\}\} = \{\{y, x\}, \{x\}\}$

----------------------------------------------------------------------------

Pokud bych měl zadáno
$\{\{x\},\{x,\{\{y\},\{y,\emptyset \}\}\}\}$ ,
tak
$\{\{ y\} , \{ y,\emptyset \}\} = \{\{ y\} , \{ y\}\} = \{ y, y\} \stackrel{\text{def}}{=} \{y\}$
$\{\{x\},\{x,\{\{y\},\{y,\emptyset\}\}\}\}$
$\{\{x\}, \{x, \{y\}\}\}$
$\{\{x\}, \{x, y\}\}$
$(x, y)$
a potom tedy čtu jednoprvkovou množinu {x} a pak dvouprvkovou množinu {x, y} = {y, x}.

----------------------------------------------------------------------------

Potom si tedy myslím, že pozice v uspořádané dvojici se určí podle počtu prvků neuspořádané množiny. A prvek, který se opakuje, ignoruju.
$\{x\}$ - patří na první pozici
$\{y, x\} = \{x, y\}$ - patří na druhou pozici (obsahuje dva prvky, ale {x} jsem už zařadil a do uspořádané dvojice použiju {y})

Takže první čtu tu množinu, která obsahuje jeden prvek a nachází se tedy na první pozici.

Chápu to tak správně?
Děkuji.

Stýv · 15. 06. 2012 12:55

nemůžeš jen tak ignorovat prázdnou množinu a složený závorky,
$\{\{ y\} , \{ y,\emptyset \}\} \neq \{\{ y\} , \{ y\}\}$
$\{\{x\}, \{x, \{y\}\}\}\neq\{\{x\}, \{x, y\}\}$
atp.

vanok · 15. 06. 2012 13:01 — Editoval vanok (15. 06. 2012 13:03)

Ahoj
zakladna vlasnost co characterizuje usporiadanu dvojici je
$(a1, a2) = (b1, b2) \Leftrightarrow a1 = b1 ; a2 = b2$ .

V teorii mnozin, napriklad v ZF (Zermelo-Fraenkel) sa definuje ako pises.

Ak ti ide o $(x, x)$ , vdaka tvojej definicii je $= \{\{x\}\}$

A ak si dobre pochopil definiciu co pises skus aspon dokazat tu zakladnu vlasnost, vdaka tvojej definicii.

domek · 18. 06. 2012 00:52

↑ Stýv:

Ano, to jsem udělal špatně.
K této chybě mě inspiroval výraz na wikipedii.

Je tu nadefinována 0-tice a indukční krok.
Podle toho by teda mělo platit:
$(a, b, c) =(a, (b, c))=$
$\{\{a\}, \{a, (b, c)\}\} =$
$\{\{a\}, \{a, \{\{b\}, \{b, (c)\}\}\}\} =$
$\{\{a\}, \{a, \{\{b\}, \{b,\{\{c\}, \{c, \emptyset \}\}\}\}\}\}$

domek · 18. 06. 2012 01:12

↑ vanok:

Předpokládám:
$a1 \not= a2 \wedge b1 \not= b2$
$a1, a2, b1, b2 \not= \emptyset$

Potom:
$\{\{a1\}, \{a1,a2\}\} = \{\{b1\}, \{b1, b2\}\} \Leftrightarrow (\{a1\} = \{b1\} \wedge \{a1, a2\} = \{b1, b2\})$

Nemůže se rovnat jednoprvková množina množině dvouprvkové.

Je to tak správně?

vanok · 18. 06. 2012 06:53 — Editoval vanok (18. 06. 2012 06:57)

↑ domek:
Pises
"Nemůže se rovnat jednoprvková množina množině dvouprvkové. "
Nie nemoze , lebo v predpokladat ze mas dovjprvkovu mnozinu znamena, ze ma dva rozne prvky, a tak zaroven nemoze mat jediny prvok!

co sa tyka tohto:
$a1, a2, b1, b2 \not= \emptyset$
to je zbytocny predpoklad v tvojej uvahe... $\emptyset$ je tiez mnozina.

Poznamka: ak chces uplne dokazat
$\{\{a1\}, \{a1,a2\}\} = \{\{b1\}, \{b1, b2\}\} \Leftrightarrow (\{a1\} = \{b1\} \wedge \{a1, a2\} = \{b1, b2\})$
tak staci uvazovat dve situacie
1) $a_1=a_2$
a potom
2) $a_1 \neq a_2$

Rumburak

↑ domek:

Ahoj.

Pouze poznámka k obecným úvahám - snad zbytečná.

Abychom to nekomplikovali složitostí množin: výrok $\{x, y\} = \{u, v\}$ je obecně ekvivalentní výroku

$(x = u \,\wedge \,y = v) \,\vee\, (x = v \,\wedge \, y = u)$ .

Množina o jednom prvku se nemůže rovnat množině o dvou různých prvcích, to je pravda, ale zápis jednoprvkové množiny může mít
formu zápisu dvouprvkové množiny: $\{a\}=\{a, a\}$ , takže $\{x, y\}$ je dvouprkovou množinou pouze tehdy, když $x \ne y$ ,
na to je potřeba dávat pozor.