Matematické Fórum

Jirda · 14. 06. 2012 23:49

Zdravim,

snazim se prijit na to, ktera z nize uvedenych podmnozin je normalni podgrupou, ale jaksi se mi nedari ze zadani potvrdit ani u jedne, ze by byla normalni. Coz je podezrele:)

O co jde, mame grupu, na ktere je operace skladani a mnozina je definovana timto predpisem f(x) = ax + b, kde a neni rovno nule.

Mame dve podmnoziny:
Prvni v sobe obsahuje prvky predpisu f(x) = ax
A ta druha prvky predpisu f(x) = x + b

Abych overil, ze je podgrupa normalni, musi to byt podgrupa a musi platit, ze pro kazde g z G a kazde a z podgrupy plati g . a . g^-1 (kde tecka je operace na grupe).

Proto jsem zkusil timto predpokladem, neresme ted, zda je ci neni podgrupa, overit, zda muzu rict, ze je podmnozina podezrela z toho, ze by mohla byt normalni podgrupou.

Proto u prvni podmnoziny jsem zvolil reprezentanta cx a jako g z G mam ax + b a jeho inverze je (x-b)/a

A ted budu postupne skladat:

g po a po g^-1 (x)= g(a(g^-1(x)))...tedy c((x-b)/a) dosadim do ax + b a dostanu a(c((x-b)/a)) + b, coz je cx -cx + b,coz zrejme neni cx a proto nemuzeme hovorit o normalni podgrupe.

U druhe podmnoziny jen zamenim a za x + c a opet zacnu skladat:

(x-b)/a + c ... a to dosadim do g(x) a dostanu a((x-b)/a + c) + b, coz je x + ac a to zas neodpovida podmince.

Nevi prosim nekdo, kde delam chybu? A nebo snad skutecne zadna neplni podminku "normality"?

Diky za komentar.

OiBobik

↑ Jirda:

Ahoj,

No vždyť v druhém případě jsi tu podmínku "normality" ověřil:

Označme $H=\{f:x\mapsto x+c | c \in \mathbb{R}\}$
$x+c$ je libovolný prvek z té podgrupy, $ax+b$ lib. prvek grupy s inverzním prvkem $\frac{x-b}{a}$ .

Pak
$(ax+b)\circ(x+c) \circ (\frac{x-b}{a})=a(\frac{x-b}{a}+c)+b=x+ac$ , kde ovšem pro funkci $f:x \mapsto x+ac$ platí $f \in H$ .

Všimni si rozdílu mezi

$\forall g \in G \forall h \in H: ghg^{-1}=h$
a
$\forall g \in G \forall h \in H: ghg^{-1}\in H$ .

To druhé je podmínka z definice normální podgrupy. To první je (silnější) podmínka, která říká, že $H$ je podmnožinou centra grupy.