Matematické Fórum

Neviem síce čo máš presne na mysli, ale súsim ti pomôcť. Pravdepodobne vôbec nevieš čo je to integrál. Je to veľmi široký pojem, ktorý len tak do hlavy nenaskáče :-) Integrovať, znamená hľadať primitívnu funkciu. Pravdepodobne vieš čo znamená funkciu zderivovať. No a keď tú už zderivovanú funkciu budeš integrovať, dostaneš pôvodnú funkciu. Preto sa v literatúre píše, že je to inverzná operácia k derivovaniu. Vlastne hľadáš funkciu, ktorá po zderivovaní má taký tvar, ktorý integruješ. Príklad:

Dá sa aj intuíciou zistiť, ako bude vyzerať funkcia po zintegrovaní. No je to taká neznáma funkcia (primitívna funkcia F(x)), ktorá po zderivovaní nadobudne tvar x^2. Ide o kvadratickú funkciu. Ktorú funkciu musím zderivovať aby som dostal kvadratickú? No predsa kubickú, tá je o stupeň vyššia. Teda x^3. Ak túto zderivujem, tak dostanem 3x^2. Ale ja chcem iba x^2, tak to ešte vydelím troma. Dostávam teda primitívnu funkciu:

Konštanta sa prídáva, lebo po zderivovaní je nula, a má predovšetkým význam pri riešení diferenciálnych rovníc. Skúška: Ak primitívnu funkciu zderivujem dostanem pôvodnú, ktorú som integroval:

Tento integrál sa dá vypočítať aj pomocou vzorcov pre tabuľkové integrály a ten znie pre mocninové funkcie takto:

Však sa to podobá na náš výsledok :-))
Lenže nie všetky sú také ľahké. Uvediem ešte metódu per partes a zvyšok si môžeš prečítať napríklad na http://www.wikipedia.cz/
Metóda per partes sa používa pri riešení integrálov súčinu funkcií. Ako by si počítal integrál:

Odhadom ako v predošlom príklade asi ťažko. Teraz sa opäť vychádza z derivácie súčinu, ktorá hovorí:

Vidno, že vo vzorci sa vyskytuje aj súčin funkcií, a to práve potrebujeme. Tak si jeden súčin vyjadrím a dostanem:

Strany rovnice integrujeme a dostávame vzorec pre per partes: