Matematické Fórum

Jirda · 14. 06. 2012 20:53

Zdravim,

rad bych se zeptal na nekolik otazek kolem centra grupy, pricemz bych to rad zalozil na nekolika prikladech.

Chtel bych si ujasnit, jake jsou centra techto grup S3, A4, GL2(Q), GL2(Z3), D4...

Prvne, vlastne co to je centrum grupy. Centrum grupy je nejvetsi podgrupa takova, ze kazdy jeji prvek komutuje se vsema prvky cele grupy.

Zacnu s S3 a A4:
Obe tyto grupy maji trivialni centrum grupy, problem je ten, ze nevim, jak to dokazat. Samozrejme bych mohl vzit vsechny podgrupy S3 a zacit ukazovat, ze zadna z nich nesplnuje predpoklady stat se centrem grupy, ale to mi prijde jako posledni zachrana. U A4 jsem na tom podobne.

U grupy regularnich matic 2x2 v Z mam uz ale lepsi predstavu, zde vidim jako kandidata na prvek centra grupy prvek takovy, ze na hlavni diagonale bude mit stejne hodnoty:

a 0
0 a

Problem je ale zde ten, ze takovy prvek v te grupe je prece jen jeden a to identita. U ostatnich prvku nenajdu jejich inverzi, takze tam lezet nebudou.

Dalsi priklady si necham kdyztak na pozdeji, kdyz mam problem rozlousknout tyhle. Rad bych se do toho nak dostal, ale citim, ze mi chybi ta "zkusenost".

Diky za komentare.

vanok · 14. 06. 2012 21:08

pre S3, S4, A3, A4 staci uKazat ze hocijaky prvok rozny od identickej permutacii nie je v CENTRE.
To ste iste dokazali na prednaskach ( velmi klasicka otazka) >>> dokaz sa robi sporom

Skus to urobit, potom budeme pokracovat.

Jirda · 14. 06. 2012 21:41 — Editoval Jirda (14. 06. 2012 21:44)

↑ vanok:

Takze mam teda ukazat, ze libovolny prvek, ktery neni roven id, nelezi v centru.

Takze paklize mam dokazovat sporem, mel bych predpokladat, ze existuje takovy prvek, ktery lezi v centru grupy a neni identicky.

V S3, predpokladam, ze tam tedy takovy prvek existuje:

Uvazme, ze prvkem, ktery lezi v centru, je nejaka z transpozic. Takova transpozice ale neni s cyklem (1,2,3) zrejme komutativni, takze nemuze byt v centru grupy.

Dale, uvazujme cykly delky 3, zde zrejme taky nebude cyklus delky 3 komutativni s libovolnou transpozici a tak nebude moct byt v centru.

Tim jsem vycerpal vsechny moznosti a nenaplnil predpoklad, takze zadny takovy prvek neexistuje a centrum je trivialni.

V S4 bych uvazoval tak,

ze paklize je nejaky cyklus delky tri (a,b,c), pak nebude komutativni s transpozici (a,b), takze jak transpozice, tak cyklus delky 3 nebude v centru. U cyklu delky 4 bych postupoval stejne.

Jetse de jsou ale permutace tvaru (a,b)(c,d), zde bych to snad rozbil pres transpoici (b,c)

V A3,
ta samotna grupa je komutativni, protoze obsahuje dva cykly delky tri a jednu identitu. Cykly spolu komutuji, protoze se lisi jen svou mocninou, zaroven komutuji s identitou.

Zde bude centrum cela A3.

V A4 je 12 prvku, 8 cyklu delky 3...identita a pak 3 prvky tvaru(a,b)(c,d)
Tam by slo rozbit snad kazdy cyklus tvaru (a,b,c) permutaci (a,b)(c,d)
A dale viz A3.

Tady bude jen identita jako centrum.

Vic me nenapada.

vanok · 14. 06. 2012 22:43 — Editoval vanok (15. 06. 2012 00:18)

Tu mas metodu ( cize cvicenie co sa dava na tuto temu)

Tak to pouzi.

Nech $E$ je mnozina co ma aspon 3 prvky

1) Pre $a, b \in E$ rozdielne a $\sigma \in S(E)$ , zjednoduste $\sigma (a;b) \sigma ^{-1}$

2) Ktore permutacie komutuju z $(a;b)$ ?

3) Vyvodte z toho ze centrum grupy $S(E)$ je $\{id_E\}$ .

Jirda · 14. 06. 2012 22:54

↑ vanok:

Promin, ale nejak jsem nechytil nit. Nak v tom nevidim, jak mi to pomuze v nejakem efektivnim, hromadnem zpusobu, jak dokazat, ze tam ty centra jsou trivialni.

vanok · 14. 06. 2012 23:01

No lebo take prvky su vo vsetkych grupach
(a;b) ako si pochopil transpozicia

Jirda · 14. 06. 2012 23:08

↑ vanok:

Aha

Tak s libovolnou transpozici bude komutovat vzdy ona sama a pak kazda takova, ktera v rozkladu na cykly nebude obsahovat a a b. Nebo ne?

vanok · 14. 06. 2012 23:12

Dobre pozorovanie

Zajtra sa sem vratim a dam ti dalsie indikacie

Dobru noc

vanok · 15. 06. 2012 00:17 — Editoval vanok (15. 06. 2012 00:18)

Ako zaver sa mozes dostat k tomuto:

Uvazujme $\sigma$ prvok co nie je identita grupy $E(n)$ . Potom existuje $c$ take $\sigma (c)=a \neq c$ . Veznime tak $b$ ine ako $a$ a aj $c$ , a tak $\sigma \circ (a\ b) (c)\neq (a\ b)\circ \sigma (c)$

A toto ti zarucuje, ze centrum grupy $S(n)$ je $\{id_E\}$ .

Jirda · 15. 06. 2012 12:16

↑ vanok:

Aha, to dava rozum.

A co ta mnozina regularnich matic 2x2 nad Z? Jakym smerem bych se mel ubirat tam?

vanok · 15. 06. 2012 12:29

Ale najprv ti este chyba dokaz tykajuci sa $A(k)$
Tak treba ukazat ze pre $k>3$ jej centrum je $\{id_E\}$ ( poznamka: $A(3)$ je komutativna )
Mas na to nejaku ideu?

Jirda · 15. 06. 2012 13:01

↑ vanok:

Tak jelikoz A3 je komutativni, tak centrum grupy bude ona sama, protoze kazdy prvek komutuje s kazdym.

U A(k) pro k > 3, bych uvazoval, ze pro kazdy (a,b,c) existuje takovy prvek (a,b)(c,d), ze (a,b,c) po (a,b)(c,d) se nerovna (a,b)(c,d) po (a,b,c).

Kdyz se tak zamyslim, tak kazdy nezavisly cyklus delky k, kde k je liche cislo, pri predpisu (x1,x2..xk) bude vzdy nekomutativni s cyklem (x1,x2...xk-2)

Dale kazdy cyklus predpisu (x1, x2, xk-2) bude nekomutativni s (x1,x2,..)(...,xk-2, xk-1), kde pocet prvku v obou cyklech je stejny.

No a paklize je nejaky prvek x nekomutativni s prvkem y, tak pak ani jeden nebude v centru, protoze jako protipriklad pro y najdeme x.

vanok · 15. 06. 2012 13:29 — Editoval vanok (15. 06. 2012 13:35)

No dobre, ked sa vratim, napisem ti uplny dokaz.

vanok · 15. 06. 2012 15:34

Tak slubeny dokaz:
Predpokladam, ze $n \geq 4$ a ze pracujem na mnozine $E$ z n prvkamy.
Ukazem ze $\sigma$ z $A(n)$ , neidenticka permutacia nie je v centre grupy $\ A(n)$ . Preto existuju dva rozne prvky $a ; b$ mnoziny $E$ take, ze $\sigma(a) = b$ .
Akoze $n \geq 4$ , mozem najst dva ine prvky $c ; d$ . Vytvorim cyklus $\varphi = (b\ c\ d)$ ktory je dlzky 3 (cize neparnej dlzky) a preto je parna permutacie, co znamena, ze je v $A(n)$ .
Teraz konstatujem, ze $\sigma$ a $\varphi$ nekomutuju, lebo napriklad
$\sigma \varphi (a)=\sigma(a)= b$
a
$\varphi \sigma (a)=\varphi (b)=c$ .
Co konci dokaz.

Jirda · 15. 06. 2012 16:42

↑ vanok:

Pekne. Dava to smysl.

vanok · 15. 06. 2012 16:56

A poslednu otazku vyries sam.
Treba dokazat ( ak moja pamat nezlyhava) ako si uz pisal ↑ Jirda:, v specialnych pripadoch, ze ide o matice formy kI (I, jednodkova matica)

Jirda · 15. 06. 2012 18:40

↑ vanok:

Hmm ma uvaha teda bude asi takova:

Mejme dve libovolne matice plnici predpoklady grupy:
A:
a b
c d

a
B:
e f
g h

Provedu soucin A*B a dostanu tento vysledek:
ae + bg af + bh
ce + dg cf + dh

Nyni provedu B*A a dostanu tento vysledek:
ea + fc eb + fd
ga + hc gb + hd

Nyni uvazujme, za jakych predpokladu bude matice A vzdy komutativni s matici B:

Bude to prave tehdy, kdyz b,c = 0 a a = d. Pak totiz dostanu

A*B
ae af
ag ah

B*A
ea fa
ga ha

To tedy znamena, ze matice tvaru
k 0
0 k
bude vzdy v centru grupy.

Ale takova matice je v grupe regularnich matic 2x2 nad Z prave jedna a tou je identita ne?

vanok · 15. 06. 2012 18:50

↑ Jirda:
ano, v tomto pripade ano... co som pisal vyssie je vseobecna odpoved, co sa tyka n a aj telesa.

Jirda · 15. 06. 2012 19:27

↑ vanok:

A v tom pripade Z3 to bude vypadat stejne?

vanok · 15. 06. 2012 20:08

↑ Jirda:,
ano... ale vseobecny dokaz je komplikovanejsi.

vanok · 15. 06. 2012 20:16

tu mas, myslim si , uzitocne citanie
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Cent … ver_center

Jirda · 15. 06. 2012 20:57

↑ vanok:

Aha, dekuji.

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2012 20:53

Centrum grupy

#2 14. 06. 2012 21:08

Re: Centrum grupy

#3 14. 06. 2012 21:41 — Editoval Jirda (14. 06. 2012 21:44)

Re: Centrum grupy

#4 14. 06. 2012 22:43 — Editoval vanok (15. 06. 2012 00:18)

Re: Centrum grupy

#5 14. 06. 2012 22:54

Re: Centrum grupy

#6 14. 06. 2012 23:01

Re: Centrum grupy

#7 14. 06. 2012 23:08

Re: Centrum grupy

#8 14. 06. 2012 23:12

Re: Centrum grupy

#9 15. 06. 2012 00:17 — Editoval vanok (15. 06. 2012 00:18)

Re: Centrum grupy

#10 15. 06. 2012 12:16

Re: Centrum grupy

#11 15. 06. 2012 12:29

Re: Centrum grupy

#12 15. 06. 2012 13:01

Re: Centrum grupy

#13 15. 06. 2012 13:29 — Editoval vanok (15. 06. 2012 13:35)

Re: Centrum grupy

#14 15. 06. 2012 15:34

Re: Centrum grupy

#15 15. 06. 2012 16:42

Re: Centrum grupy

#16 15. 06. 2012 16:56

Re: Centrum grupy

#17 15. 06. 2012 18:40

Re: Centrum grupy

#18 15. 06. 2012 18:50

Re: Centrum grupy

#19 15. 06. 2012 19:27

Re: Centrum grupy

#20 15. 06. 2012 20:08

Re: Centrum grupy

#21 15. 06. 2012 20:16

Re: Centrum grupy

#22 15. 06. 2012 20:57

Re: Centrum grupy

Zápatí