Matematické Fórum

Jenn · 15. 06. 2012 20:11 — Editoval Jenn (15. 06. 2012 20:16)

Zdravím,
chci poprosit o radu ohledně určení def.oboru funkce.

$y=\sqrt{\frac{x}{x^{2}-1}+1}$

Můj postup:
kvůli odmocnině: $\frac{x}{x^{2}-1}+1\ge 0$
$\frac{x+1\cdot (x^{2}-1)}{x^{2}-1}+1\ge 0$
$\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}\ge 0$

kvůli zlomku:
$x^{2}-1=0$
$x^{2}=1$
$x=\pm 1$

$x^{2}+x-1=0$
$D=(-1)^{2}-(4\cdot 1\cdot (-1))=5$
$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

V dalším postupu si nejsem jistá. Napadá mě, že bych těmi 4 hodnotami x určila intervaly $(-\infty , -1\rangle, \langle-1, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\rangle, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\langle,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\rangle, \langle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, 1\rangle, \langle1, +\infty )$
dosazováním bych poté zjistila, v kterém intervalu jsou hodnoty kladné a kde jsou záporné. Bohužel si nejsem jistá, jak dosazovat u $x=\pm 1$
a celkově mi celé řešení přijde trochu divné, jako by někde byla chyba a já nevidím, kde.

marnes · 15. 06. 2012 20:19 — Editoval marnes (15. 06. 2012 20:20)

↑ Jenn:

Právě naopak. je to přesné řešení. Jen u + a-1 je potřeba si uvědomit, že tyto krajní body nemůžeme zanést do řešení, jelikož jsou ve jmenovateli

a ještě nemáš ty body dobře uspořádány!

vanok · 15. 06. 2012 20:20 — Editoval vanok (15. 06. 2012 20:22)

Ahoj
dobre si zacal
$\frac{x}{x^{2}-1}+1\ge 0$
takto treba pokracovat

$\frac {x+x^2-1}{x^2-1} \ge 0$

a potom vyuzi ze zlomok je kladny, ked citatel a menovatel maju rovnake znamienko

Jenn · 15. 06. 2012 20:30

↑ marnes:Chyby v uspořádání již vidím také, díky za upozornění.
Co se týče těch krajních bodů ze jmenovatelé, tak ty nemám používat ani v rozdělení na intervaly? Nebo v rozdělení na intervaly je použiji, ale při dosazování čísel z příslušných intervalů je dosazuji jen za ta x, co mi vyšla z čitatele?

marnes · 15. 06. 2012 21:55

↑ Jenn:

Těm všem bodům, které jsi našla se říká nulové body, protože když je dosadíš, tak vyjde nula. Ty které jsou ze jmenovatele tak samozřejmě používáme k rozdělení na intervaly, ale dáváme k ní symbol "otevřeno", což znamená, že tento bod dosadit nemůžeme. Pro nulové body z čitatele se řídíme znaménkem nerovnosti. Kdyby bylo jen větší nebo menší, tak i u těchto bodů by bylo otevřeno. Když je větší nebo rovno, nebo menší nebo rovno, tak je možné dosadit i tento nulový bod a dáváme symbol uzavřeno.

no a když rozdělíš na intervaly, tak si vybírej vždy číslo mezi těmi krajními. Ne nikdy ten nulový, protože by ti vyšla nula a pak by jsi nemohla rozhodnout, zda je výraz kladný či záporný.

Jenn · 15. 06. 2012 23:24 — Editoval Jenn (15. 06. 2012 23:25)

↑ marnes:Prosím o závěrečnou kontrolu.
Intervaly jsem uspořadala takto: $(-\infty , \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\rangle, \langle\ \frac{-1-\sqrt{5}}{2}, -1), (-1, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\rangle, \langle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, 1), (1, +\infty )$

Sestavila jsem si tabulku, kde jsem do vzorců $x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ a $x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ za x dosazovala čísla z příslušných intervalů.
Def.obor by tedy dle mého měl být $D(f) = (-\infty , \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\rangle\cup \langle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}, 1)\cup (1, +\infty )$

zdenek1 · 16. 06. 2012 07:38

↑ Jenn:
$D(f) = \left(-\infty , \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right\rangle\cup \left( -1;\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\rangle\cup (1, +\infty )$

Jenn · 16. 06. 2012 19:19

↑ zdenek1:Zdravím,
můžu poprosít o vysvětlení, proč do def.oboru patří $(-1, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\rangle$ ?
Já jsem dosazovala za x -0,5 i 0,5 do vzorce $x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ avychází mi to záporně, dále jsem stejná čísla zkoušela dosazovat za x pro $x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ a to vychází kladně. Takže "+" a "-" mi dají "-" a tento interval by podle mě do def.oboru patřit neměl. Co tedy dělám špatně?

zdenek1 · 17. 06. 2012 00:28

↑ Jenn:
Jenže ty bys měla dosazovat do té původní funkce. Protože když dosadíš do toho výrazu, který uvádíš, dosazuješ jen do části, a ta jistě může vyjít záporně, ale to není důležité, důležitý je celek
$y=\sqrt{\frac{-\frac12}{\left(-\frac12\right)^2-1}+1}$
a tohle je v pořádku

Jenn · 17. 06. 2012 15:51

↑ zdenek1:Aha, tak pak to už chápu :-) Díky.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2012 20:11 — Editoval Jenn (15. 06. 2012 20:16)

Definiční obor funkce

#2 15. 06. 2012 20:19 — Editoval marnes (15. 06. 2012 20:20)

Re: Definiční obor funkce

#3 15. 06. 2012 20:20 — Editoval vanok (15. 06. 2012 20:22)

Re: Definiční obor funkce

#4 15. 06. 2012 20:30

Re: Definiční obor funkce

#5 15. 06. 2012 21:55

Re: Definiční obor funkce

#6 15. 06. 2012 23:24 — Editoval Jenn (15. 06. 2012 23:25)

Re: Definiční obor funkce

#7 16. 06. 2012 07:38

Re: Definiční obor funkce

#8 16. 06. 2012 19:19

Re: Definiční obor funkce

#9 17. 06. 2012 00:28

Re: Definiční obor funkce

#10 17. 06. 2012 15:51

Re: Definiční obor funkce

Zápatí