Matematické Fórum

harryharry · 15. 06. 2012 21:34

Dobrý večer,

prosím o pomoc s následující diferenciální rovnicí

$x'=\frac{3x}{t} + t^4 cos t$

Vypadá jednoduše, ale pořádně jsem se v ní zamotal - není homogenní a nelze z ní nic rozumně vytknout. Zkoušel jsem na ní jít Bernoulliniho substitucí $y=uv; y'=u'v+uv'$ , ale ztratil jsem se v hrozných mocninách. Jak na ní?

Petr

jardofpr · 15. 06. 2012 22:16

↑ harryharry:

zdravím rovnica je tvaru

$x'-p(t)x=r(t)$

po prenásobení oboch strán výrazom $\mathrm{e}^{-\int p(t)\,\mathrm{d}t}$

to vyzerá takto

$x'\mathrm{e}^{-\int p(t)\,\mathrm{d}t}-p(t)x\,\mathrm{e}^{-\int p(t)\,\mathrm{d}t}=r(t)\,\mathrm{e}^{-\int p(t)\,\mathrm{d}t }$

ľavá strana sa dá strčiť teraz do jednej derivácie

$(x\,\mathrm{e}^{-\int p(t)\,\mathrm{d}t})'=r(t)\,\mathrm{e}^{-\int p(t)\,\mathrm{d}t}$

po zintegrovaní oboch strán podľa $t$ a následnom vynásobení oboch strán výrazom $\mathrm{e}^{\int p(t)\,\mathrm{d}t}$

je

$x(t)=\mathrm{e}^{\int p(t)\,\mathrm{d}t}\cdot \int r(t)\,\mathrm{e}^{-\int p(t)\,\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t$

pospik · 15. 06. 2012 22:25 — Editoval pospik (15. 06. 2012 22:25)

↑ harryharry:

A nešlo by to řešit tak, že by jste nejdříve vyřešil homogenní část (která je v tomto případě separovatelná) a posléze pomocí variace konstant zohlednil i "pravou" stranu (tj. tu nehomogenitu)?

harryharry

Díky za odpovědi... ráno to zkusím, teď toho nejsem schopen.

jardofpr : co je tohle za způsob? Takto to řeší wolfram, ale přišlo mi to příliš složité.

pospik : tj vyřešit zvlášť $x'- \frac{3x}{t} ; t^4 cos t$ ? To vypadá poměrně schůdně, zkusím.

EDIT: pospik : homogenní část jsem vyřešil jako t=x^(1/3), což je asi špatně...

jardofpr

↑ harryharry:

mám pocit že metóda sa volá Eulerova
je to pomerne dobre využiteľná metóda pre lineárne rovnice prvého rádu,
a pri takýchto jednoduchých rovniciach je to pomerne rýchle

štyri kroky a dostaneš sa ku

$x(t)=|t^3|\int \frac{t^4}{|t^3|}\cos{t}\,\mathrm{d}t$ $t \neq 0$

čo sa počíta celkom ľahko

harryharry · 15. 06. 2012 23:21

Paráda! Chápu, stačilo se trochu pozorněji podívat.

Díky moc!

pospik · 15. 06. 2012 23:51

Eulerovu metodu neznám (ten Euler toho vymyslel hromadu, tak těžko hádat).

Ale myslím, že vesměs skrývá stejný postup jaký jsem navrhoval já:
Jedním kladným řešením homogenní části je
$x_{+}(t) = t^3$
(to máme stejně). Pak všechna řešení homogenní diferenciální rovnice lze zapsat ve tvaru
$x_H (t) = c.x_{+}(t) = c.t^3, c \in \mathbb{R}$

Nyní budu hledat parikulární řešení v tvaru
$x_P (t) = C(t).t^3, C: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
které vyhovuje původní rovnici, tj.
$x_P' (t) = \frac{3x_P(t)}{t} + t^4. \cos t$
Když tam dosadím to moje $x_P(t)$ a derivuji jako součin dvou funkcí, pak lze rovnici upravit a člen s $C(t)$ vypadne, získám
$C' (t) = \int t. \cos t ~dt$

Pak všechna řešení dané nehomogenní DR získám jako
$x(t) = x_H(t) + x_P(t)$

Jak jsem však psal na začátku - myslím, že je to to samé jako Eulerova metoda.

jardofpr · 16. 06. 2012 10:32

↑ pospik:

to sa mi zdá zbytočne zdĺhavé pri takejto rovnici
a nezdá sa mi že je to to isté ako hľadať samostatne riešenie homogénnej a nehomogénnej rovnice

harryharry

Tak když jsem šel přesně podle návodu, vyšlo mi tohle :

EDIT : mezivýpočet jsem smazal, udělal jsem v něm botu

výsledek je $x=t^3(tsint + cost + c1)$

Tomas.P

↑ harryharry:
$\int$x{\cdot}\frac{1}{t^3}$'=x{\cdot}\frac{1}{t^3}$

harryharry · 16. 06. 2012 14:47

Jsem to ale kopyto... už mi to vychází. Předchozí mezivýpočet raději smažu, ať to nikoho neplete. Díky za pomoc!

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2012 21:34

Diferenciální rovnice

#2 15. 06. 2012 22:16

Re: Diferenciální rovnice

#3 15. 06. 2012 22:25 — Editoval pospik (15. 06. 2012 22:25)

Re: Diferenciální rovnice

#4 15. 06. 2012 23:01 — Editoval harryharry (15. 06. 2012 23:15)

Re: Diferenciální rovnice

#5 15. 06. 2012 23:15 — Editoval jardofpr (15. 06. 2012 23:16)

Re: Diferenciální rovnice

#6 15. 06. 2012 23:21

Re: Diferenciální rovnice

#7 15. 06. 2012 23:51

Re: Diferenciální rovnice

#8 16. 06. 2012 10:32

Re: Diferenciální rovnice

#9 16. 06. 2012 12:53 — Editoval harryharry (16. 06. 2012 14:48)

Re: Diferenciální rovnice

#10 16. 06. 2012 13:46 — Editoval Tomas.P (16. 06. 2012 13:47)

Re: Diferenciální rovnice

#11 16. 06. 2012 14:47

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí