Matematické Fórum

hraca · 16. 06. 2012 13:04 — Editoval hraca (16. 06. 2012 13:18)

Mám příklad Který člen binomického rozvoje $[\frac{2}{c^{2}} + \sqrt{c}]^{12}$ obsahuje výraz $\sqrt{\frac{1}{c^{3}}}$ vím že to bude 10 člen, ale nedokáži se dostat k tomuto výsledku

Hanis · 16. 06. 2012 13:12

Ahoj.

Vzhledem k tomu, že výraz je jenom na druhou, tak se mi zadání zdá chybné.

hraca · 16. 06. 2012 13:18

hraca napsal(a):
Mám příklad Který člen binomického rozvoje $[\frac{2}{c^{2}} + \sqrt{c}]^{12}$ obsahuje výraz $\sqrt{\frac{1}{c^{3}}}$ vím že to bude 10 člen, ale nedokáži se dostat k tomuto výsledku

hraca · 16. 06. 2012 13:19

↑ Hanis: děkuji napsla jsem to špatěn te'd je to správné zadání.

Hanis · 16. 06. 2012 13:27 — Editoval Hanis (16. 06. 2012 13:27)

To je něco jiného. Já v tom úvodním příspěvku vidím v exponentu dvojku, nevadí.

Kátý člen BR výrazu $[\frac{2}{c^{2}} + \sqrt{c}]^{12}=(2c^{-2}+c^{\frac12})^{12}$ bude mít tvar:

${12 \choose k-1}\cdot (2c^{-2})^{13-k}\cdot (c^{\frac12})^{k-1}$

Hledáme člen, který má tvar nějaká konstanta (označím ji a) krát hledaný výraz:
$a\cdot \sqrt{\frac{1}{c^{3}}}=a\cdot c^{-\frac32}$

Teď to dáme do rovnosti:
${12 \choose k-1}\cdot (2c^{-2})^{13-k}\cdot (c^{\frac12})^{k-1}=a\cdot c^{-\frac32}$

A rovnice se rozpadne na 2 - porovnáme konstanty a proměnnou:

${12 \choose k-1}\cdot 2^{13-k}=a~~~~~~(1)$
$(c^{-2})^{13-k}\cdot (c^{\frac12})^{k-1}=c^{-\frac32}~~~~(2)$

A protože se tě ptají který člen, tak stačí vyřešit (2) o neznámé "k".
Kdyby chtěli vypočíst celý tvar toho členu, bylo by třeba toto "k" dosadit do (1) a dopočíst "a".

Stačí tak?