Matematické Fórum

terezkaaaaa5

Mám zjednodušit výraz $\sin (u+v)\cdot \cos v-\cos (u+v)\cdot \sin v$ . Zkoušela jsem to podle dvou vzorců, ale nemůžu se dostat k výsledku $\sin u$ .

Můj postup: $\sin (u+v)\cdot \cos v-\cos (u+v)\cdot \sin v = \sin u\cdot \cos v+\cos u\cdot \sin u\cdot \cos v-\cos u\cdot \cos v+\sin u\cdot \sin v\cdot \sin v$

Následně jsem došla k $2\cos v\cdot \sin u-2\sin v\cdot \cos v$ , ale to už je špatně. Díky za rady.

terezkaaaaa5 · 16. 06. 2012 14:33

Poraďte mi prosím.

skoroakvarista · 16. 06. 2012 14:34

↑ terezkaaaaa5:
Zdravím, dle mého děláte chyby v těch součtových vzorcích, případně u roznásobování. Zkuste si ještě jednou postupně rozepsat, čemu se rovná $\sin(u+v)$ , poté to přenásobte $\cos(v)$ , stejně tak u odečítaného členu.

terezkaaaaa5 · 16. 06. 2012 14:41

↑ skoroakvarista:

Už jsem to zkoušla po tom, co mi to nevycházelo, ale pořád mi to vychází stejně:(

jelena · 16. 06. 2012 14:48

Zdravím v tématu, s kolegou určitě projdete i druhou variantu postupu, ale navazuji na samolepky :-) Když označíš

$(u+v)=\alpha$ , $v=\beta$ . Co se podaří? Děkuji.

skoroakvarista · 16. 06. 2012 14:49

↑ terezkaaaaa5:
Dobře, tak já rozepíšu ten první člen. $\sin(u+v)\cdot \cos(v)=\big(\sin(u)\cdot\cos(v)+\sin(v)\cdot \cos(u)\big)\cdot \cos(v)=\sin(u)\cdot\cos(v)\cdot \cos(v)+\sin(v)\cdot \cos(u)\cdot \cos(v)$ . Zkuste to podobně s tím odečítaným členem.

terezkaaaaa5 · 16. 06. 2012 14:59

To mi vyšlo $\cos u\cdot \cos v\cdot \sin v-\sin u\cdot \sin v\cdot \sin v$ . Pak mám ale opět problém s krácením.

skoroakvarista · 16. 06. 2012 15:05

↑ terezkaaaaa5:
Dobře, takže když od mnou napsaného výrazu odečtete svůj teď napsaný, nemohlo by se tam něco hezky "požrat"? (Rozumějte sečíst na nulu.) Ze zbylého stačí vytknout a aplikovat převelice známý součtový vzorec pro druhé mocninu sinu a cosinu.

terezkaaaaa5 · 16. 06. 2012 15:12

↑ skoroakvarista:

Abych řekla pravdu, jsem z toho úplně zmatená. Jako první bych zkrátila sin u, který však má bý výsledkem. Takže já teď vůbec nevím, omlouvám se, ale nemohl byste mi ještě pomoct?

skoroakvarista · 16. 06. 2012 15:17

↑ terezkaaaaa5:
Pozor, my neřešíme rovnici, ale upravujeme výraz, tedy nelze beztrestně krátit. Pokud napíšu ten rozdíl
$\sin(u)\cdot\cos(v)\cdot \cos(v)+\sin(v)\cdot \cos(u)\cdot \cos(v)-\cos(u)\cdot \cos(v)\cdot \sin(v)+\sin(u)\cdot \sin(v)\cdot \sin(v)$ , tak se podívejte na druhý a třetí člen - ty se požerou. Na zbytek platí už dříve psané.

terezkaaaaa5 · 16. 06. 2012 15:23

↑ skoroakvarista:

Ať dělám, co dělám, stejně mi nikdy nevyjde samotné $\sin u$ . :(

skoroakvarista · 16. 06. 2012 15:29

↑ terezkaaaaa5:
Budu předpokládat, že jmse se posunuli do tvaru $\sin(u)\cdot\cos(v)\cdot \cos(v)+\sin(u)\cdot \sin(v)\cdot \sin(v)$ . To je ale rovno $\sin(u)\cdot\big(\cos(v)\big)^2+\sin(u)\cdot\big(\sin(v)\big)^2=\sin(u)\cdot\big(\cos^2(v)+\sin^2(v)\big)$ . Teď už to dopadne?

terezkaaaaa5 · 16. 06. 2012 17:02

↑ skoroakvarista:

díky moc.

skoroakvarista · 16. 06. 2012 17:10

↑ terezkaaaaa5:
Za málo, pro úplnost ještě postup (možná lehčí), který naznačila výše ↑ jelena:, za což jí děkuji.
Označíme-li $(u+v)=\alpha$ a $v=\beta$ , potom
$\sin (u+v)\cdot \cos (v)-\cos (u+v)\cdot \sin (v)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ . To je ale při pozorném prohlédnutí součtový vzorec, tedy je tento výraz roven $\sin(\alpha-\beta)$ . Vrátím-li se zpět v substituci k proměnným $u,v$ dostanu $\sin(u+v-v)=\sin(u)$ .

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2012 13:50 — Editoval terezkaaaaa5 (16. 06. 2012 13:51)

Součtové vzorce

#2 16. 06. 2012 14:33

Re: Součtové vzorce

#3 16. 06. 2012 14:34

Re: Součtové vzorce

#4 16. 06. 2012 14:41

Re: Součtové vzorce

#5 16. 06. 2012 14:48

Re: Součtové vzorce

#6 16. 06. 2012 14:49

Re: Součtové vzorce

#7 16. 06. 2012 14:59

Re: Součtové vzorce

#8 16. 06. 2012 15:05

Re: Součtové vzorce

#9 16. 06. 2012 15:12

Re: Součtové vzorce

#10 16. 06. 2012 15:17

Re: Součtové vzorce

#11 16. 06. 2012 15:23

Re: Součtové vzorce

#12 16. 06. 2012 15:29

Re: Součtové vzorce

#13 16. 06. 2012 17:02

Re: Součtové vzorce

#14 16. 06. 2012 17:10

Re: Součtové vzorce

Zápatí