Matematické Fórum

↑ OiBobik:

Takze vsechny mozne homomorfismy jsou zobrazeni takove, ze zobrazim nejaky generator ze Z5 na nejaky generator ze Z8?

Ale tady mi neco nesedi, ty zobrazujes 1 na a, u ktereho chapu, ze je tedy generator v Z8 delici rad prvku 1, ktery je 5. Ale rad prvku 1 je prece 1, je to neutralni prvek a kazdy neutralni prvek ma rad 1. Rad 5 by mel prvek 1, kdybychom se bavili o grupe (Z5,+) ne? Ale ja mluvil o grupe zbytkovych trid s nasobenim, ktera samozrejme obsahuje jen invertibilni zbytkove tridy. Nebo se mylim?

Diky

↑ OiBobik:

Jasne, tedy generator na prvek radu delici rad generatoru:

To tedy znamena, ze existuji takove zobrazeni, pokud se nepletu:

f1(2) = 1, pricemz ker bude Z5 a Im 1
f2(2) = 3, pricemz ker bude 1,4 a Im bude 1,3
f3(2) = 5, pricemz ker bude 1,4 a Im bude 1,5
f4(2) = 7, pricemz ker bude 1,4 a Im bude 1,7


A jak to bude, kdybych chtel najit vsechny ze Z8 -> Z5?
Zde uz Z8 neni cyklicka, takze nemam generator.  Zrejme zadny prvek nebudu moct zobrazit na generator Z5, protoze ten je rad 4 a ja mam v Z8 jen rady 1,2.

↑ OiBobik:

V Im nebude tedy urcite zadny generator Z5, ktere jsou prvky 2,3.

Zbyva tedy identita a prvek 4.

Proto podle me budou existovat 4 homomorfismy a to takove, ze:

1. Vse se zobrazi na identitu
2. Vse na identitu krome 3 na 4
3. Vse na identitu krome 5 na 4
4. Vse na identitu krome 7 na 4


Jeste bych se chtel zeptat, treba kdybych mel (Z6,+) -> (Z3,+)x(Z4,+), tak zde budu generator 1 radu 6 zobrazovat takto predpokladam:
f1(1) = ([0,0])
f2(1) = ([2,2])
f3(1) = ([1,0])
f4(1) = ([0,2])
f5(1) = ([2,0])
f6(1) = ([1,2])


A kdybych mel treba najit vsechny homomorfismy ({1,-1}, . ) -> S3, tak generatorem je zde -1 radu 2. A tu budu zobrazovat na prvky radu 1,2, tedy:
f1(-1) = id, kde ker je 1,-1 a im je id
f2(-1) = (1,2), kde ker je 1 a im je (1,2)
f3(-1) = (1,3), kde ker je 1 a im je (1,3)
f4(-1) = (2,3), kde ker je 1 a im je (2,3)


No a kdybych hledal ty homomorfismy naopak, tedy S3 -> ({1,-1}, . ), tak jedine dve podgrupy, ktere mohou byt jsou {1} a {1,-1}. Navic S3 neni cyklicka.
Tzn budu muset vzdy zobrazit identitu na 1.

A budu mit dva homomorfismy? (Porad me napada pouzit funkci parity)
1. homomorfismus by byla funkce parity
2. no a pak vse zobrazit na identitu

Tady si ale nejsem prilis jisty.


Diky.

↑ OiBobik:

Takze to bude asi takhle:
Kdyz vyjdu z izomorfismu:
1. f1([1],[0]) = [0] f1([0],[1]) = [0]
2. f2([1],[0]) = [0] f2([0],[1]) = [2]
3. f3([1],[0]) = [2] f3([0],[1]) = [0]
4. f4([1],[0]) = [2] f4([0],[1]) = [2]

Pak by to melo byt takhle v tech originalnich grupach
f1(3) = 1  f1(5) = 1
f2(3) = 1  f2(5) = 4
f3(3) = 4  f3(5) = 1
f4(3) = 4  f4(5) = 4

Tady jsem si snazil pomoct prevodni tabulkou:o)
([0],[0]) = 1
([1],[0]) = 3
([0],[1]) = 5
([1],[1]) = 7

[0] = 1
[1] = 2
[2] = 4
[3] = 3

ale trochu jsem se v tom ztratil a u vytvareni te prevodni tabulky jsem se snazil ridit tak, aby sedely rady prvku.



Co se tyce otazky, ktere budou proste, tak podle me jen to posledni.

↑ OiBobik:

f2(1) = ([2,2])

Dalo by se to zapsat nejak definici?

Hadam, ze asi takto:
f(a) = [2,2]^a

A jak pak zapsat nejakym vztahem, jake prvky budou v kernelu?
Vim, ze ker f = {a | f(a) = ([0],[0]) }

Abych upresnil, co myslim, treba u zobrazeni z f: (Z5,+) -> (Z10,+) by bylo f(a) = 2a a ker f by bylo takove a, ze 10 | 2a, tedy 5|a a to je prave [0] a proto tohle zobrazeni bude proste. (Jde mi prave o takovy zapis jako ja ta delitelnost, ktera presne charakterizuje, co se zobrazi na neutralni prvek).