Matematické Fórum

terezkaaaaa5 · 17. 06. 2012 10:57

Mám rovnici
$\sin 2x=\text{tg}x$ tu si podle vzorce rozložím na $2\cdot \sin x\cdot \cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$ dále jsem vynásobila cosx, pak různě pokrátila a došlak rovnici $\sin x\cdot 2\cos x=0$ ale z toho mi nevychází řešení rovnice $k\pi;\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ . Poradíte mi prosím kde mám chybu?

Sulfan · 17. 06. 2012 11:06 — Editoval Sulfan (17. 06. 2012 11:07)

Ahoj, obávám se, že ta rovnice asi není úplně správně upravena, máme:

$2\sin x \cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$
$2\sin x \cos^{2} x =\sin x$
$2\sin x \cos^{2}x-\sin x =0$
$2\sin x (\cos^{2}x-\frac{1}{2})=0$

Nezapomeň určit podmínky existence, na začátku dělíme $\cos x$

terezkaaaaa5 · 17. 06. 2012 11:09

↑ Sulfan:

Nechápu, jak se z toho předposledního výrazu stal ten poslední? Vysvětlíš mi to prosím? A kde na začátku dělíme $\cos^{2} x$ ?

Sulfan · 17. 06. 2012 11:17 — Editoval Sulfan (17. 06. 2012 11:17)

↑ terezkaaaaa5: To s tím dělením $\cos^{2} x$ jsem přehlédl, samozřejmě určujeme jen existenci $tg x$ tj $\cos x \neq 0$ .
Podrobně rozepíšu poslední krok:

$2\sin x \cos^{2}x-\sin x =0$

vytknu jen samotný $\sin x$ (to by mělo být jasné):

$\sin x \cdot (2\cos^{2} x -1)=0$

nyní vytknu ještě dvojku ze závorky

$\sin x \cdot 2 \cdot (\cos^{2} x -\frac{1}{2})=0$

Což je součin dvou výrazů rovný nule, tudíž rozlišíme případy, kdy se jeden činitel rovná nule a kdy se rovná nule druhý.

terezkaaaaa5 · 17. 06. 2012 11:22

↑ Sulfan:

Díky. Takže sin je roven nule vždy po periodě $k\pi$ . A cos x v tomto příkladě vychází $\frac{\pi }{4}$ . Ale co ta perioda $k\frac{\pi }{2}$ ?

Sulfan · 17. 06. 2012 11:30

↑ terezkaaaaa5: Tam není $\cos x$ , ale $\cos ^{2} x$ . Tj. řešíme rovnici

$\cos ^{2} x = \frac{1}{2}$

Teď ji odmocním, ale musíme dávat pozor, protože jak víme $\sqrt{a^2}=|a|$ Tj absolutní hodnota.

$| \cos x |=\sqrt{\frac{1}{2}}$
$| \cos x |=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zároveň platí, že rovnice ve tvaru $|a|=c$ je ekvivalentní vyjádření $a=c \vee a=-c$ , v našem případě:

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nebo $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

A to už vyřešíme snadno, první řešení rovnice je:

$\frac{\pi}{4}+2k\pi$
$\frac{7\pi}{4}+2k\pi$

Druhé rovnice:

$\frac{3\pi}{4}+2k\pi$
$\frac{5\pi}{4}+2k\pi$

Sama můžeš oveřit, že se tak dostanou všechny liché násobky $\frac{\pi}{4}$