Matematické Fórum

↑ Jirda:

Ahoj,

a) ok

b) jenom, že tam neplatí ona rovnost, neznamená, že tam složení těch dvou permutací neleží. Chce to trochu zlepšit argument (nicméně myslím, že projde stejný - nebo alespoň podobný - protipříklad).

c) ta normalita je triviální, pro to tvrzení o řádu uvaž libovolnou rozkladovou třídu a co je potom ...

Ta druhá část je nějak zamotaně napsaná, když už, tak dokazuješ, že je podgrupou (kde se operace definují po složkách)
jediné, kde je potřeba ta komutativita, je uzavřenost na binární operaci:
chci . Přitom vím, že tedy pomocí komutativity
Tedy protipříklad musí být neuzavřenost na skládání dvojic nějakých nekomutujících prvků (stačí hledat už v S3).
isomorfismus: Zkus využít první věty o isomorfismu, tj najít surjektivní homomorfismus , že .

↑ Jirda:

1c)

Ano, platí ale to přece neznamená, že (to je toho pouze speciální případ), nýbrž, že (v tomto případě: , jelikož se skládá právě ze všech prvků tvaru ).
Z hlediska té úlohy ale není struktura té faktorgrupy až tak zajímavá, jde spíš o definici operací na faktorgrupě:
speciálně toho, že .

2c)

Analogicky upozorňuji, že snaha přímo nahlédnout strukturu faktorgrupy bude asi spíš na obtíž (neznáme strukturu grupy G. Lépe se na to dívat trochu abstraktněji, skrz ty morfismy - buď nahlédnout přímo isomorfismus té faktorgrupy a původní grupy, nebo přes tu 1. větu o isomorfismu konstrukcí surjektivního homomorfismu s jádrem H). Ta věta o isomorfismu je hodně užitečná. ; )) Navíc, v tomto příkladu lze z definice podgrupy přímo vykoukat ten surjektivní homomorfismus.

Jinak ale:
(ale ano, je pravda, že z této úpravy lze vyvěštit předpis toho isomorfismu taky. konkrétně jeho korektnost)

↑ Jirda:

Ano, to je ono. jinak řečeno, isomorfismus je


že je prostý a korektně definovaný, je zřejmé z úprav v ↑ OiBobik:.
Že je na, je evidentní (, pak )

↑ Jirda:

Zvolme libovolnou rozkladovou třídu grupy .
Pak , kde , tedy dle definice podgrupy : .
Pak tedy je jednotka faktorgrupy ().
Tedy tato třída musí mít řád, dělící číslo .

↑ OiBobik:

Jeste me napada, ale to je takovy trochu out of topic, protoze jak tak prochazim pripravou, tak jsem narazil treba na typ prikladu, ze ma clovek najit vsechny podgrupy nejake grupy. Je tam obecne nejaka specificka strategie? Kdybych mel neco takoveho resit, tak se asi prvne podivam na rady prvku a z tech se pokusim udelat generatory podgrup.


No a druha vec je, ze jsou treba zadany nejake permutace a clovek ma na jejich zaklade vlastne popsat grupu, kterou vygeneruji. Tam je asi vhodne postupovat tak,najit nezavisle cykly tech permutaci a pokouset se zjistit, zda slozeni dvou cyklu nevygeneruje nejakoy novy cyklus, ktery by se pak stal zase dalsim generatorem.


Nebo je na to jiny pohled? Ja vim, asi to bude zaviset hodne od pripadu. Ale kdyzsena topodivas z pohledu, ze to vetsinou jsou maly grupy nebo tech permutaci neni moc.

Diky.

↑ Jirda:

No... tak to nevím, nějakou extra strategii.

tak vždycky člověk asi začně od cyklických podgrup, generovaných jednotlivými prvky, pak k nim připojuje nějaký prvek, který není z té cyklické podgrupy, vypíše všechny prvky, co mu to dá... atd. to jsou celkem otravné příklady, toto. Hodí se Lagrangeova věta (když přidávám k podgrupě indexu p, p prvočíslo, nový prvek, pak už nutně musím vygenerovat celou grupu), atd. U Sn se dá celý proces řešit podle počtu pevných bodů (a podle konkrétních pevných bodů). To jsou ale jen spíš takové babské rady, než nějaká metoda.

U těch grup generovaných permutacemi asi jo, tak nějak. Hodí se znát takové věci, jako že množina transpozic typu "prohodím dvě sousední pozice" generuje už celou Sn apod.