Matematické Fórum

user · 17. 06. 2012 21:52

Ahoj,
zadání je: Najděte rozložení teploty t v závislosti na poloměru r v prostoru mezi 2 soustřednými koulemi o poloměrech r1, r2, který je homogenně vypněn látkou vedoucí teplo. t1 a t2 jsou konstantní (t1 je teplota v r1 a t2 v r2).

Je mi jasné, že musím využít rovnosti tepla, které projde kulovou slupkou ve vzdálenosti r a teplem které projde slupkami ve vzdálenostech r1 a r2, ale nedaří se mi sestavit rovnice.
Děkuji

o.neill · 17. 06. 2012 21:57

Já bych řekl, že vzhledem k tomu, že vztah mezi teplem a teplotou je lineární, tak i to rozložení tepla by mělo být lineární, ne?

user · 17. 06. 2012 22:00

bohužel tak snadné to není protože se jedná o kouli, tedy průřez je proměnný.

o.neill

No jo vlastně. No a co třeba takhle: zavedu si veličinu, kterou označím třeba a a bude udávat přenesené teplo za čas.
Bude teda platit:

$a&=-\lambda\frac{{\rm d}t}{{\rm d}r}S=-\lambda\frac{{\rm d}t}{{\rm d}r}4\pi r^2\\ {\rm d}t&=-\frac{a}{\lambda\cdot 4\pi r^2}{\rm d}r\\ t(r)&=\frac{a}{4\pi r\lambda}+C$

No a z podmínky, že t(r1)=t1 a t(r2)=t2 se dají určit konstanty a a C.

EDIT: Opravená druhá mocnina

Pavel Brožek · 17. 06. 2012 22:50

↑ user:

Stačí vyřešit rovnici vedení tepla. Časově proměnný člen tam nebude, takže se to zjednodušší na Laplaceovu rovnici. Předpokládáme sfericky symetrické řešení, takže si stačí najít, jak vypadá Laplaceův operátor ve sferických souřadnicích a pak už to je jednoduché. Výsledek vyjde stejný, jako uvádí o.neill, $t(r)=\frac{C_1}r+C_2$ . :-)

user · 17. 06. 2012 22:53 — Editoval user (17. 06. 2012 23:01)

↑ o.neill:
Děkuji, ještě se nad tím zamyslím, ve škole jsme to dělali pomocí obecné rovnice vedení tepla a pak jsme řešili Laplaceovu rovnici a to mi přišlo příliš komplikované... V tomhle už to začínám vidět i fyzikálně a ne jen, že nám to vyšlo.

Ještě malá poznámka, v druhé rovnici (dt=...) utekla v zápisu mocnina u r.

↑ Pavel Brožek:
Už to chápu i z toho Laplace :)

zdenek1 · 18. 06. 2012 00:11

↑ user:
Řešilo se Odkaz

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2012 21:52

Rozložení teploty v závislosti na vzdálenosti

#2 17. 06. 2012 21:57

Re: Rozložení teploty v závislosti na vzdálenosti

#3 17. 06. 2012 22:00

Re: Rozložení teploty v závislosti na vzdálenosti

#4 17. 06. 2012 22:23 — Editoval o.neill (17. 06. 2012 22:25) Příspěvek uživatele o.neill byl skryt uživatelem o.neill. Důvod: No já nad tim ještě budu chvíli přemejšlet, možná sem píšu hovadiny

#5 17. 06. 2012 22:34 Příspěvek uživatele user byl skryt uživatelem user.

#6 17. 06. 2012 22:41 — Editoval o.neill (17. 06. 2012 23:08)

Re: Rozložení teploty v závislosti na vzdálenosti

#7 17. 06. 2012 22:50

Re: Rozložení teploty v závislosti na vzdálenosti

#8 17. 06. 2012 22:53 — Editoval user (17. 06. 2012 23:01)

Re: Rozložení teploty v závislosti na vzdálenosti

#9 18. 06. 2012 00:11

Re: Rozložení teploty v závislosti na vzdálenosti

Zápatí