Matematické Fórum

drabi · 18. 06. 2012 16:44

Ahoj,
prosila bych o pomoc s tímto příkladem:

Adam a Bedřich si hází třemi mincemi. Pokud padne 3x rub nebo 3x líc, vyhrává Adam, pokud 2x rub a 1 líc Bedřich. Hody se opakují, dokud jeden z nich nevyhraje.
- spočtěte pravděpodobnost, že Adam vyhraje v prvním hodu
- spočtěte pravděpodobnost, že Adam vyhraje v k-tém hodu
- spočtěte pravděpodobnost, že Adam vyhraje
- spočtěte střední počet odehraných hodů, než někdo z nich vyhraje

nevím jak se dobrat k té střední hodnotě, mohl by mi s tím někdo prosím pomoct?
díky

OiBobik

↑ drabi:

$p_k:=P[\text{nikdo nevyhrál v }k \text{-tém kole}|\text{nikdo nevyhrál v prvních } k-1 \text{ kolech}]={3 \choose 2}\frac{1}{2^3}=\frac{3}{8}$
$q_k:=P[\text{někdo vyhrál v }k \text{-tém kole}|\text{nikdo nevyhrál v prvních } k-1 \text{ kolech}]= \\ =1-P[\text{nikdo nevyhrál v }k \text{-tém kole}|\text{nikdo nevyhrál v prvních } k-1 \text{ kolech}]=\frac{5}{8}$

Nechť $X$ je náh. veličina, udávající celkový počet kol.
Pak $P[X=k]=P[\text{někdo vyhrál v }k \text{-tém kole} \wedge \text{nikdo nevyhrál v prvních } k-1 \text{ kolech}]=\prod_{i=1}^{k-1}p_i \cdot q_k=$\frac{3}{8}$^{k-1}\frac{5}{8}$ ... jde o geom. rozdělení.

Takže $\mathbb{E}X=\sum_{k=1}^{\infty}k \cdot P[X=k]=\frac{5}{8}\sum_{k=1}^{\infty}k$\frac{3}{8}$^{k-1}$ .

Ukáže se, že součet řady
$\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=$\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}$'=$\frac{1}{1-x}$'=\frac{1}{(1-x)^2}$

Dosazením $x=\frac{3}{8}$ dostanu výsledek.

drabi · 18. 06. 2012 17:37

↑ OiBobik:

moc nechápu, jak jsi získal tu pravděpodobnost $p_k$ , mohl bys mi to prosím vysvětlit?

Stýv · 18. 06. 2012 18:05

nikdo nevyhraje, když padne 1x rub a 2x líc. binomický rozdělení

OiBobik · 18. 06. 2012 18:11

↑ drabi:

To je vyvěštěno ze zadání. To je jen zkrátka to, že v situaci, kdy už se odehrálo k-1 kol (viz ta podmínka) je pravděpodobnost, že toto kolo nikdo nevyhraje, rovna počtu všech možných výsledků hodů, ve kterých nikdo nevyhraje, ku počtu všech možných výsledků hodů (ty nevýherní tři jsou L L R, L R L, R L L)

drabi · 18. 06. 2012 18:18

↑ OiBobik:
jo už je mi to jasné, díky moc:)

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2012 16:44

pravděpodobnost - střední hodnota

#2 18. 06. 2012 17:25 — Editoval OiBobik (18. 06. 2012 18:44)

Re: pravděpodobnost - střední hodnota

#3 18. 06. 2012 17:37

Re: pravděpodobnost - střední hodnota

#4 18. 06. 2012 18:05

Re: pravděpodobnost - střední hodnota

#5 18. 06. 2012 18:11

Re: pravděpodobnost - střední hodnota

#6 18. 06. 2012 18:18

Re: pravděpodobnost - střední hodnota

Zápatí