Matematické Fórum

drabi · 18. 06. 2012 19:41

Ahoj, mám další příklad, který nevím, jak se přesně dělá:

Mějme nezávislé náhodné veličiny Xn stejně rozdělené s hustotou exp(-x) pro x>0. Definujme Yn = Xn + n.
(a) spočtěte pravděpodobnost, že nekonečněkrát nastane jev [Yn > 2n]
(b) spočtete pravděpodobnost, že nekonečněkrát nastane jev [Y1 > log(n)]

zkusím napsat, jak jsem postupovala, ale nejsem si jistá, jestli se to tak má dělat:

(a)
$A_n = [Y_n > 2n] = [X_n + n > 2n] = [X_n > n]$
$\sum_{i=1}^\infty P(A_n) = \sum_{i=1}^\infty 1 - \int_0^i \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t =\sum_{i=1}^\infty\mathrm{e}^{-i} = \frac{1}{\mathrm{e} - 1} < \infty$

$\Rightarrow P(\text{limsup}_{n \rightarrow \infty} P(A_n)) = 0$

(b)
$A_1 = [Y_1 > \log(n)] = [X_1 + 1> \log(n)] = [X_1 > \log(n) - 1]$
$\sum_{i=1}^\infty P(A_1) = \sum_{i=1}^\infty 1 - \int_0^{\log(i) - 1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t = \sum_{i=1}^\infty \mathrm{e}^{1 - \log(i)} = \sum_{i=1}^\infty \frac{\mathrm{e}}{i} = \infty$

$\Rightarrow P(\text{limsup}_{n \rightarrow \infty} P(A_n)) = 1$

prosím vás, řekl by mi někdo zda postupuju dobře, popřípadně mi řekl v čem dělám chyby? díky moc

Stýv · 18. 06. 2012 19:53

to zadání (b) mi přijde divný, nemá tam být jev [Yn > log(n)]?

drabi · 18. 06. 2012 20:00

↑ Stýv:
právě, že to zadání takové má být.. taky mi to přijde divné

Stýv · 18. 06. 2012 20:37

pak ale ty jevy nejsou nezávislý a BC lemma ti nepomůže. je to ale triviální, jelikož jde o konečnou n. veličinu

drabi · 18. 06. 2012 20:39

↑ Stýv:
promiň, tomu nějak nerozumím, můžeš mi to říct trochu polopatě?

OiBobik

↑ drabi:

Formálně třeba takto:

$P(\limsup A_n)=P(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_n)=P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_{n \to \infty}P(A_n)=\\=\lim_{n \to \infty}$1-\int_{0}^{\log n -1}e^{-x}\text{d}x$=1-\lim_{n \to \infty}[-e^{-x}]_{0}^{\log n-1}=\\=1-\lim_{n \to \infty}(1-e^{-\log n +1})=1-\lim_{n \to \infty}(1-\frac{e}{n})=0$

(protože $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \dots$ , platí $\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k=A_n$ )

drabi · 18. 06. 2012 21:43

↑ OiBobik:
ok, díky..

↑ Stýv:
a to áčko je dobře?

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2012 19:41

Borel-Cantelli

#2 18. 06. 2012 19:53

Re: Borel-Cantelli

#3 18. 06. 2012 20:00

Re: Borel-Cantelli

#4 18. 06. 2012 20:37

Re: Borel-Cantelli

#5 18. 06. 2012 20:39

Re: Borel-Cantelli

#6 18. 06. 2012 21:19 — Editoval OiBobik (18. 06. 2012 21:22)

Re: Borel-Cantelli

#7 18. 06. 2012 21:43

Re: Borel-Cantelli

Zápatí