Matematické Fórum

thejk · 18. 06. 2012 23:00 — Editoval thejk (18. 06. 2012 23:02)

Do úhlu velikost 60 $^\circ$ jsou vepsány dva dotýkající se kruhy. Vzdálenost středu od menšího kruhu je 5j. Potom poměr obsahů obou kruhů je?

Došel jsem k tomu, že jsem si spočítal poloměr menšího kruhu, tedy (pokud to mám vůbec správně)
$\sin \frac{\tau }{6}*5j$
No ale nedokážu si už odvodit poloměr toho vzdálenějšího kruhu..
Ještě bych doplnil, že to vychází 1:9.

jelena · 18. 06. 2012 23:44

Zdravím,

Vzdálenost středu od menšího kruhu je 5j.

rozumí se "vzdálenost vrcholu úhlu do kterého je vepsáno do kruhu"? nebo do "středu kruhu"?

Uvažovala bych stejnolehlost. Označím poloměr velkého kruhu R, malého r. Pokud v úloze je "vzdálenost do středu kruhu", potom vzdálenost od vrcholu úhlu do středu malého 5, vzdálenost do středu velkého 5+r+R.

Potom platí: R/r=(5+r+R)/(5).

Zároveň z pravoúhlého trojúhelníku, který vznikne sestrojením poloměru r jako kolmice k společné tečně, máme, že r=5*sin(30 stupňů)=... (to jsi odvodil).

(pokud je vzdálenost od vrcholu do kruhu (ne do jeho středu), tak jen změna: r=(5+r)*sin(30 stupňů) a také změnit poměry R/r)

Podaří se tak zorientovat? Děkuji.

thejk · 19. 06. 2012 01:01

Pardon, od vrcholu úhlu ke středu první menší kružnici.

marnes · 19. 06. 2012 09:30 — Editoval marnes (19. 06. 2012 09:39)

↑ thejk:

tak to dokončíme
Obrázek - úhel a dvě kružnice. Vrchol úhlu V, střed menší S1, střed větší S2. Pata kolmice ze středu S1 na rameno úhlu X, pata kolmice ze středu S2 na rameno úhlu Y, poloměr menšího r, poloměr většího R

jsou tam dva trojúhelníky pravoúhlé podobné VS1X a VS2Y ( pravé úhly u X a Y)

1) z trojúhelníku VS1X vypočítáme r $sin30=\frac{r}{5}$ $r=\frac{5}{2}$
$r=|S1X|$

2) pracujeme s podobností $\frac{|S2Y|}{|S1X|}=\frac{R}{r}=\frac{|VS2|}{|VS1|}$
$\frac{R}{\frac{5}{2}}=\frac{R+5+\frac{5}{2}}{5}$

$R=\frac{15}{2}$

3) $\frac{S1}{S2}=\frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}}=\frac{\frac{25}{4}}{\frac{225}{4}}=\frac{1}{9}$