Matematické Fórum

Strongmann · 27. 02. 2012 13:05

Dobrý den,
už jsem zde něco podobného řešil ale nedošli jsme ke zdárnému výsledku. (http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=41780&p=2) O co tedy jde:

Jaká je pravděpodobnost například že při 10 hodech kostkou mi padne alespoň jednou všech 6 možností nebo jaká je pravděpodobnost že, když 100x roztočím ruletu tak padne všech 37čísel (francouzská ruleta) nebo při vybírání karet z balíčku, pravděpodobnost že např. když vyberu kartu a pak jí vrátím zamíchám a znovu vyberu tak po třeba 500 pokusech vyberu všechny možnosti.

Když zůstanu u té kostky: Pravděpodobnost že v n hodech pro n > 6 padne všech 6 možnosti....

Jediné k čemu sem se dopátral je, že pravděpodobnost pro 6 hodů s klasickou 6-ti stěnou kostkou je $\frac{6!}{6^6}$

Za jakoukoli odpověď předem děkuji.

Alkac · 27. 02. 2012 15:05

Na kombinatoriku jsem byl vzdycky slabej, ale tipnu si:
N hodu, K ruznych vysledku v kazdem hodu, jaka je sance ze padne vsech K ruznych veci:

(N+K-1 nad K)/K^N

Pokus: Hazim minci, jaka je sance ze na tri hody padne jak panna tak orel? Reseni je 6/8, protoze jsou jen dve moznosti ktere to nesplnuji PPP,OOO a 2^3=8 vsech moznych vysledku.
Vzorecek dava (3+2-1 nad 2)/2^3 = (4nad2)/8 = 6/8 takze to sedi. Snad je to spravne i v obecnem pripade, vzal jsem proste kombinace s opakovanim, coz by melo byt ono, protoze ti je jedno v jakem poradi ta permutace padne

Alkac · 27. 02. 2012 15:16

Jinak kdyz mas tech hodu vic nez moznosti co muze padnout, tak bych uvazoval nejak tak, ze vyberes K mist v N prvkovem vektoru, to jde udelat (N nad K zpusoby), obsadis je nejakou permutaci, to jde udelat K! zpusoby a zbylich N-K mist obsadis jakkoliv, to jde udelat K^(N-K) zpusoby, ale pak bys musel jeste delit poctem permutaci ktery se takhle zduplikujou

Strongmann · 28. 02. 2012 12:34

Vypadá to dobře jen když dosadím do vzorce pravděpodobnost pro 6 hodů, která by měla vyjít $\frac{720}{6^6}$ tak výsledek je $\frac{462}{6^6}$ (6+6-1 nad 6/6^6) dělám někde chybu nebo je špatně už ta první pravděpodobnost? $\frac{6!}{6^6}$

Alkac · 28. 02. 2012 13:00

Ja bych rekl ze se to da pouzit jen kdyz mas vic hodu nez moznych vysledku. Pokud mas hodu min tak je ta pravdepodobnost nula a pokud stejne tak je to tak jak pises ty. Ale dokazat to neumim...

Alkac · 28. 02. 2012 13:08

zkus tohle http://www.murderousmaths.co.uk/books/unknownform.htm

Strongmann · 06. 03. 2012 15:20

Takže ten poslední vzorec je správně nebo špatně?

Rumburak · 06. 03. 2012 15:41

↑ Strongmann:
Obávám se, že špatně. Důvod, proč jsem to nesmazal, byl ten, že jsem doufal, že příjdu na to, jak to opravit, což se prozatím nestalo
(a jak to vypadá, tak v nejbližší době pravděpodobně nestane), takže to aspoň skryji, abych nemátl.

Andrejka3

Dobrý den.
Jaká je pravděpodobnost například že při 10 hodech kostkou mi padne alespoň jednou všech 6 možností.

Mějme desetice (je to vůbec slovo?) čísel vyjadřující posloupnost hodů kostkou v jednom pokuse. Chci spočítat všechny takové možné, které odpovídají vyskytnutí se každého čísla aspoň jednou.
Označme $n_i$ počet výskytu čísla $i$ v nějaké desetici :)
Chceme
$\sum_{i=1}^6n_i=10$ a zároveň $n_i \geq1 \forall i$ . (1)
Existuje několik tříd 10-ic, které toto splňují. Mám na mysli třídy podle ekvivalence $\sim$ ,
deseticeprvni $\sim$ desetice druha, právě když mají stejná $n_i$ pro všechna $i$ .
Zvolme si jednu takovou třídu. Pak její mohutnost je
${10 \choose n_1,n_2,\dots,n_6}=\frac{10!}{\Pi_{i=1}^6 {n_i}!}$ , tomuto číslu se říká multinomický koeficient.
Celkem posčítáme mohutnosti všech tříd a máme výsledek:
$\sum_{\substack{n_i \geq 1\\n_1+\dots+n_6=10}}{10 \choose n_1,n_2,\dots,n_6}$ .
Počet těchto tříd se zjistí následovně:
Deset míst chceme vyplnit šesti druhy předmětů. Od každého druhu předmětu máme k dispozici libovolné množství kusů. Zavedeme-li
$\bar{n_i}=n_i-1$ , máme podmínku z (1):
$\sum_{i=1}^6\bar{n_i}=10-6=4$ . Vede to na úlohu o počtu možných zápisu čísla 4 jako součet šesti celých nezáporných čísel a ta má řešení:
${6+4-1 \choose 4-1}={9 \choose 3}$ .
Pokud budeš chtít, můžu shrnout základní řešení dvou základních úloh, které jsem použila:
1) tu vedoucí na multinomické koeficienty
2) tu o zápisu čísla jako součtu...

Snad příspěvek trochu pomohl.

Strongmann · 17. 06. 2012 14:25

↑ Andrejka3:

Ahoj, trochu se nudím a vracím se k této úloze. Minule sem na ní nenašel odpověď. Prosím mohla by si mi trošku objasnit tvé řešení nebo alespoň hodit odkazy, na podobné učivo, jelikož i když si čtu už asi po sté a hledám k tomu další informace na google, stejně sem z toho stále totálně zmatený.

Strongmann · 19. 06. 2012 09:48

Dá se tento příklad řešit pomocí Binomického rozdělení viz.:Binomické rozdělení pokud ano co doplnit za p (pravděpodobnost).

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2012 13:05

Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#2 27. 02. 2012 15:05

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#3 27. 02. 2012 15:16

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#4 28. 02. 2012 12:34

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#5 28. 02. 2012 13:00

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#6 28. 02. 2012 13:08

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#7 28. 02. 2012 15:08 — Editoval Rumburak (28. 02. 2012 15:58) Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Nedokončený příspěvek - navíc s chybou

#8 06. 03. 2012 15:20

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#9 06. 03. 2012 15:41

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#10 06. 03. 2012 19:03 — Editoval Andrejka3 (07. 03. 2012 11:05)

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#11 17. 06. 2012 14:25

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

#12 19. 06. 2012 09:48

Re: Pravděpodobnost kostky, ruleta, karty

Zápatí