Matematické Fórum

MateSl · 18. 06. 2012 12:41

Ahoj. Potřeboval bych, prosím, pomoct s tímhle integrálem.

$\int arcsin \frac{3}{x} dx$

jrn · 18. 06. 2012 12:58

Ahoj,
představ si integrand jako $1\cdot \arcsin\frac{3}{x}$

MateSl · 18. 06. 2012 13:03

To samozřejmě vím..
Dostal jsem se až na $x\cdot arcsin\frac{3}{x}+3\int \frac{dx}{x\cdot \sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}$
Až teď, nevím jak dál...
↑ jrn:

Cheop · 18. 06. 2012 13:22

↑ MateSl:
Tento integrál bys dokázal spočítat?
$3\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$

Takjo · 18. 06. 2012 13:23

↑ MateSl:
Dobrý den,
myslím, že v per-partes máte chybu. Mělo by být: $x\cdot arcsin\frac{3}{x}+3\int \frac{dx}{x^{2}\cdot \sqrt{1-\frac{9}{x^{2}}}}$

Což se dá upravit: $x\cdot arcsin\frac{3}{x}+3\int \frac{dx}{x\cdot \sqrt{x^{2}-9}}$ a dále substitucí...:)

MateSl · 18. 06. 2012 13:30 — Editoval MateSl (18. 06. 2012 13:31)

↑ Cheop:
Pomocí jedné ze substitucí bych to měl zvládnout.. Ale mám tam chybu už při té derivaci, má to být: $x\cdot arcsin\frac{3}{x}+3\int \frac{dx}{x\cdot \sqrt{1-\frac{9}{x^{2}}}}$

MateSl · 18. 06. 2012 13:33

↑ Takjo:
Dobrý den,

myslím, že chybu tam mám jen ve zneménku.. Integrací "1" získám "x". Přičemž tím násobím celý zlomek: $3\int \frac{x\cdot dx}{x^{2}\cdot \sqrt{1-\frac{9}{x^{2}}}}$

MateSl · 18. 06. 2012 13:47 — Editoval MateSl (18. 06. 2012 13:58)

Dostávám se tedy na $x\cdot arcsin \frac{3}{x} + 3\int_{}^{}\frac{dx}{x\cdot \sqrt{1-(\frac{3}{x})^{2}}}$

Následnou substitucí $x=\sin t; \sqrt{1-(\frac{3}{x})^{2}}=\cos t$ upravuji samotný integrál na $3\int_{}^{}\frac{\cos t}{\sin t\cdot \cos t}dt$

Edit: Je to tak správně?

Rumburak

↑ MateSl:

Ahoj.

Tento postup není správně : když $x=\sin t$ , potom $\sqrt{1-(\frac{3}{x})^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{\sin^2t}} \ne \cos t$ .
K úloze patří i určit intervaly, na kterých je integrace platná. Ty jsou zde minimálně dva, a sice $(-\infty, -3)$ a $(3, +\infty)$ .
Volbou mezi těmito intervaly bude ovlivněn i další výpočet. Např. pro $x \in (-\infty, -3)$ obdržíme

$\int \frac{dx}{x\cdot \sqrt{1-\frac{9}{x^{2}}}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-9}} = -\int \frac{dx}{3\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2-1}}$

a na poslední integrál pomůže hyberbolická substituce $x = -3\cosh t , t >0$ . Viz hyperbolické funkce.

MateSl · 18. 06. 2012 19:18 — Editoval MateSl (18. 06. 2012 19:19)

↑ Rumburak:
Ahoj,

tak nakonec jsem to řešil ještě jinak. hned na začátku jsem si zvolil substituci $t=\frac{3}{x};dx=-\frac{3}{t^{2}}dt$ , integroval jsem tedy $-3\int_{}^{}\frac{\arcsin t}{t^{2}}dt$

Dále pomocí per partes $-\frac{\arcsin t}{t}+3\int_{}^{}\frac{1}{t\sqrt{1-t^{2}}}dt$ , u samotného integrálu jsem pak substituoval $u=\sqrt{1-t^{2}}; du=-\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}dt$ s tímto postupem:

$3\int_{}^{}\frac{1}{t\cdot \sqrt{1-t^{2}}} \cdot (-\frac{\sqrt{1-t^{2}}}{t})\cdot (-\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}dt)$
$3\int_{}^{}-\frac{\sqrt{1-t^{2}}}{t^{2}\cdot \sqrt{1-t^{2}}}du$
$3\int_{}^{}-\frac{du}{t^{2}}$ , kde z předešlé substituce $-t^{2}=u^{2}-1$
$3\int_{}^{}-\frac{du}{u^{2}-1}$ se dostávám na výsledek $-\frac{3}{2}\cdot \ln |\frac{u-1}{u+1}|+c$

Po dosazení zpět substitucemi dostávám neupravený výsledek $-\frac{\arcsin \frac{3}{x}}{\frac{3}{x}}-\frac{3}{2}\ln |\frac{\sqrt{1-(\frac{3}{x})^{2}}-1}{\sqrt{1-(\frac{3}{x})^{2}}+1}|+c$

Teď už tedy doufám, že jsem postupoval správně, prosím někoho o kontrolu :) Chtěl jsem se vyhnout tomu cosinu hyperbolickému, se kterým jsem se ještě nesetkal. Jinak všem děkuji za pomoc!

EDIT: U toho celkového výsledku by akorát mělo být dle mě u přirozeného logaritmu plus

Rumburak · 19. 06. 2012 14:43

↑ MateSl:

Z dlouhé chvíle jsem si to přepočítal a vyšlo mi $x \arcsin \frac{3}{x}-\frac{3}{2}\ln \frac{1-\sqrt{1-(\frac{3}{x})^{2}}}{1+\sqrt{1-(\frac{3}{x})^{2}}}+c$ , povedla se i zkouška zderivováním.

Chybu máš možná zde: $-\frac{\arcsin t}{t}+3\int_{}^{}\frac{1}{t\sqrt{1-t^{2}}}dt$ , kde já jsem došel k mezivýsledku $\frac{3 \arcsin t}{t}-3\int_{}^{}\frac{1}{t\sqrt{1-t^{2}}}dt$ .

Jinak dobrá práce. :-)

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2012 12:41

Integrál per partes

#2 18. 06. 2012 12:58

Re: Integrál per partes

#3 18. 06. 2012 13:03

Re: Integrál per partes

#4 18. 06. 2012 13:22

Re: Integrál per partes

#5 18. 06. 2012 13:23

Re: Integrál per partes

#6 18. 06. 2012 13:30 — Editoval MateSl (18. 06. 2012 13:31)

Re: Integrál per partes

#7 18. 06. 2012 13:33

Re: Integrál per partes

#8 18. 06. 2012 13:47 — Editoval MateSl (18. 06. 2012 13:58)

Re: Integrál per partes

#9 18. 06. 2012 14:23 — Editoval Rumburak (18. 06. 2012 15:34)

Re: Integrál per partes

#10 18. 06. 2012 19:18 — Editoval MateSl (18. 06. 2012 19:19)

Re: Integrál per partes

#11 19. 06. 2012 14:43

Re: Integrál per partes

Zápatí