Matematické Fórum

LRJ1 · 19. 06. 2012 17:51

Dobrý den, potřeboval bych pomoc s tímto příkladem: Určete Taylorův polynom desátého stupně se středem v bode 0 pro funkci $f(x)=sin(x)+x^3+x^2+x+1$ a odhadněte rozdíl $|f(x)=P_{10}(x)|$ . Já jsem se setkal akorát s druhým stupněm. Teď jsem se zhrozil, jestli mám dělat 10 derivací a dávat to dohromady. Ani pořádně nevím jak na to. Poradil bych si maximálně s těmi derivacemi. Děkuji za jakoukoliv radu a pomoc.

vanok · 19. 06. 2012 18:22

Ahoj ↑ LRJ1:,
V podstate je to jednoduche, ak poznas pravicla pocitania z Taylor-ovymi, seriami.
Najprv si uvedom ze tvoja funkcia je sucet dvoch funkcii
$f(x)=f_1(x) + f_2(x)=\sin(x)+x^3+x^2+x+1$
kde
$f_1(x) =\sin(x)$
a
$f_2(x)=x^3+x^2+x+1$

T-Rozvoj $f_1$ je ozaj znamy ( aj je skoro vzdy dany ako priklad na prednaskach)
T-Rozvoj $f_2$ je pre treti a vyssi stupen tvoja funkcia.

Staci?

LRJ1 · 19. 06. 2012 18:35

↑ vanok: Moc nevím. První funkce $f_{1}$ , její řada je $sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-.......$ A jak pokračovat?

vanok · 19. 06. 2012 18:58 — Editoval vanok (19. 06. 2012 19:00)

↑ LRJ1:
Vyborne.
Tak pridaj ten T-Rozvoj funkcie $f_2$

Skutocne je to jednoduche!!! nehladaj komplikovane riesenie, ked existuje jednoduche riesenie . :-)

A inac tiez vyjadrenie chyby rozvoje je tiez velmi jednoduche vyjadrit.

LRJ1 · 19. 06. 2012 19:09

↑ vanok: Pro $f_{2}$ to bude vypadat takto: $x^3+x^2+x+1=1+\frac{x}{1!}+2\frac{x^2}{2!}+6\frac{x^3}{3!}+0+0+0+...$ ?

vanok · 19. 06. 2012 19:35 — Editoval vanok (19. 06. 2012 19:37)

↑ LRJ1:↑ LRJ1:,
Ano to je dobre ako na lavo tak aj na pravo.
Bez komplexov mozes pouzivat co je na lavo i ked zvycajne sa to pise $1+x +x^2+ x^3 + R_{10}(f_2)$ ak chces ozaj vyjadrit ze ide o rozvoj 10°
Ale tu $R_{10}(f_2)=0$
To co si napisal na pravo, to by si dostal, ak by si chcel overit ten vysledok o $f_2$ vdaka deriavaciam v okoli nuly.

Dufam ze vidis,tvoj konecny rozvoj :
$T_{10}(f;0)=1+2x+x^2 + \frac 56 x^3+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+ R_{10}(f)$

LRJ1 · 19. 06. 2012 19:53

↑ vanok: Teď jsou tedy ty dvě $f_1$ a $f_2$ sečtené? Ale nevím, proč není $T_{10}=2+2x+x^2+...atd$ Na začátku ta dvojka? A ve finále, jak odhadnout rozdíl?

vanok · 19. 06. 2012 19:58

↑ LRJ1:
JE to scitanie tvoch polynomov.... $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}$ a $1+x +x^2+ x^3$

A potom 0+1=1(konstanty)
1+ 1=2 (koeficienty pred x) atd

(nezabudni je to jednoduche!!!! tak pocitaj len to co je dane)

LRJ1 · 19. 06. 2012 20:03

↑ vanok: Ano máš pravdu, překoukl jsem se. Děkuji. Jak s tím rozdílem?

vanok · 19. 06. 2012 20:08 — Editoval vanok (19. 06. 2012 20:13)

$1-\frac 16$

LRJ1 · 19. 06. 2012 20:27

↑ vanok:A na to se příjde jak?

vanok · 19. 06. 2012 20:30

vsak ako som pisal spocitas dva polynomy

$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}$ a tento
$1+x +x^2+ x^3$

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2012 17:51

Taylorův polynom

#2 19. 06. 2012 18:22

Re: Taylorův polynom

#3 19. 06. 2012 18:35

Re: Taylorův polynom

#4 19. 06. 2012 18:58 — Editoval vanok (19. 06. 2012 19:00)

Re: Taylorův polynom

#5 19. 06. 2012 19:09

Re: Taylorův polynom

#6 19. 06. 2012 19:35 — Editoval vanok (19. 06. 2012 19:37)

Re: Taylorův polynom

#7 19. 06. 2012 19:53

Re: Taylorův polynom

#8 19. 06. 2012 19:58

Re: Taylorův polynom

#9 19. 06. 2012 20:03

Re: Taylorův polynom

#10 19. 06. 2012 20:08 — Editoval vanok (19. 06. 2012 20:13)

Re: Taylorův polynom

#11 19. 06. 2012 20:27

Re: Taylorův polynom

#12 19. 06. 2012 20:30

Re: Taylorův polynom

Zápatí