Matematické Fórum

úžasňák · 19. 06. 2012 20:18

Ahojte, počítám průběh funkce $y=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ a zasekl jsem se u určování, kde je funkce konvexní/konkávní.

Vypočítal jsem si druhou derivaci a ta mi vyšla $y''=-\frac{2(3x^{2}-1)}{(x^{2}+1)^{3}}$

Podmínka pro kritické body: $-2(3^{2}-1)=0$
Kritické body:

$x_{1}=-\frac{1}{\sqrt3}$
$x_{2}=\frac{1}{\sqrt3}$

Kritické body jsem si doplnil do výsledku druhé derivace a záporný mě vyšel kladně - konvexní, ale kladný bod mi vyšel rovno 0, tak nevím jestli je tam funkce konvexní nebo konkávní?

A u asymptot mi vyšlo
$\lim_{x\to\pm \infty} \frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1$ je to správně?

Díky

Takjo · 19. 06. 2012 21:15

↑ úžasňák:
Dobrý večer,
body "podezřelé z inflexe" máte správně.
Avšak při hledání konvexity a konkávity nedosazujete do druhé derivace tyto body, ale body z jejich blízkého okolí,
a to zleva i zprava.

Mě vyšlo toto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

úžasňák · 20. 06. 2012 12:27

Díky a poradí mi někdo, zda mám správně ty asymptoty?

vanok · 20. 06. 2012 12:43 — Editoval vanok (20. 06. 2012 12:44)

↑ úžasňák:
Ano, mas pravdu, ze $\lim_{x\to\pm \infty} \frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1$ a to sa vyjadri v beznom jazyku priamka $y=1$ , je horizontalna asymptota v okoli $+\infty$ ako aj v okoli $-\infty$
Poznamky:
1° $y=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}= 1-\frac1{x^{2}+1}$ ti da okamzite odpoved na tu istu otazku
2° vyraz $-\frac1{x^{2}+1}$ je tiez uzitocny, na urcenie vzajomnej polohy asymtoty a grafu tvojej funkcie.

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2012 20:18

Průběh funkce - monotonost

#2 19. 06. 2012 21:15

Re: Průběh funkce - monotonost

#3 20. 06. 2012 12:27

Re: Průběh funkce - monotonost

#4 20. 06. 2012 12:43 — Editoval vanok (20. 06. 2012 12:44)

Re: Průběh funkce - monotonost

Zápatí