Matematické Fórum

johny0222 · 24. 05. 2011 08:51

Desaťkrát hodíme kockou. Aká je pravdepodobnosť, že každé z čísel 1,2,3,4,5,6 padne aspoň jedenkrát ?
tak toto teda vobec netuším, mohol by ma niekto naviesť na to ako to riešiť, ďakujem

Strongmann · 19. 06. 2012 15:35

Řeším naprosto ten samí problém máte někdo nějáký nápad?

drabi · 19. 06. 2012 16:04

↑ Strongmann:
zkuste uvažovat jev opačný, že některé číslo nepadne ani jednou

Strongmann · 19. 06. 2012 16:14

Tak pravděpodobnost že např.: 6 padne jednou je $\frac{1}{6}$ dvakrát: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$ atd.
Pravděpodobnost že nepadne jednou je tím pádem $\frac{5}{6}$ dvakrát: $\frac{5}{6 }\cdot \frac{5}{6}$ atd.
Je to tak?

drabi · 19. 06. 2012 16:27

↑ Strongmann:
ano, ale ještě musíš počítat s tím, že to může být jedno z těch šesti čísel

Strongmann · 19. 06. 2012 16:33

Tak teď si něják nevím rady...

drabi · 19. 06. 2012 16:47

↑ drabi:

tak pravděpodobnost, že v žádném z 10ti hodů nepadne např.6 je rovna $$\frac56$^{10}$

a vždy jakoby vybereš 1 z 6 čísel, které nesmí padnout

Strongmann · 19. 06. 2012 17:16

Takže když například 5 ani 6 nepadli v 10 hodech
pravděpodobnost:
$$\frac56$^{10} \cdot $\frac46$^{10}$
Je to tak?

drabi · 19. 06. 2012 17:50

↑ Strongmann:
tak pokud jev A=[každé z čísel 1,2,3,4,5,6 padne aspoň jedenkrát]
pak jev A^c=[aspoň jedno z čísel 1,2,3,4,5,6 nepadne ani jedenkrát]
Potom P(A)=1 - P(A^c)

to co počítáš je, že ani jedno z čísel 5 a 6 nepadlo ani jedenkrát

kdybys chtěl aby ti nepadla ani jednou šestka, tedy B=[napadla ani jedna šestka]
$P(B)=$\frac{5}{6}$^{10}$

tobě stačí vybrat jednu z šesti hodnot, která nepadne, tedy
$P(A^c) = {6 \choose 1}$\frac56$^{10}$

Strongmann · 19. 06. 2012 20:07

Dobrá takže pro 10 hodů by to tedy bylo $1-$ {6 \choose 1}\(\frac{5}{6}$^{10}\) = $ {6 \cdot }\(\frac{5}{6}$^{10}\) = 0,0309665027$ takže cca 3% ovšem v tomto tématu mi uživatel Miky4 napsal že u 10 hodů je ta pravděpodobnost 27,2%, kde je tedy chyba?

drabi · 19. 06. 2012 21:26

↑ Strongmann:

koukám, zas na druhou stranu to hází pěkný výsledek pro 50 pokusů;)
tak teď nevím, v čem je háček.. asi jak radil kolega Stýv, je to potřeba použít princip inkluze a exkluze.. bohužel teď nemám čas se na to pořádně kouknout, tak snad se toho ujme někdo další

Jookyn · 20. 06. 2012 02:41

Je to na pouziti principu inkluze a exkluze (PIE), jak bylo napsano...

Budeme tedy pocitat jev, ze nektere z cisel nepadne (oznacim jako A), pak se jen jako vysledek vezme opacny jev.

Jev A by se dal rozepsat jako sjednoceni jevu:
Nepadne zadna jednicka, vsechna ostatni cisla ano
Nepadne zadna dvojka, vsechna ostatni cisla ano
...
Nepadne zadna jednicka, zadna dvojka, vsechna ostatni cisla ano
...
Nepadne zadna jednicka, dvojka ani trojka, vsechna ostatni cisla ano
...
atd

Jenze to co bylo spocitano vyse popisovalo sjednoceni jevu:
Nepadne jednicka
Nepadne dvojka
...
Nepadne sestka

ale kde je moznost, ze nepadne jednicka ani dvojka a padnou jen cisla od trojky vyse? Muze se zdat, ze tam neni nikde, ale opak je pravdou, ona tam je naopak zapoctena dvakrat a to jako cast jevu nepadne jednicka a jako cast jevu nepadne dvojka.

Proto je treba pouzit PIE, kde pak muzeme spocitat vyslednou pravdepodonost nasledovne:

$P(A) = {6 \choose 1} ({5 \over 6})^{10} - {6 \choose 2}({4 \over 6})^{10} + {6 \choose 3} ({3 \over 6})^{10} - {6 \choose 4} ({2 \over 6})^{10} + {6 \choose 5} ({1 \over 6})^{10}$

Kde prvni soucin dava pravdepodobnost, ze nejake jedno cislo nepadne, ostatni ano. Druhy, ze nepadnou nejaka dve cisla ostatni ano atd.

Mozna to neni typicky priklad, ze ktereho je videt princip PIE, v tom pripade bych doporucoval nejake ucebnicove priklady na PIE (vetsinou vysvetleno na mnozinach, ale to je to samy, jen ja tu neberu velikost mnoziny, ale pravdepodobnost).

Strongmann · 20. 06. 2012 10:38

Super mockrát děkuji. Při pokusu s deseti hody je tedy výsledek:

$1-$ {6} \({5 \over 6}$^{10} - {15}${2 \over 3}$^{10} + {20} ${1 \over 2}$^{10} - {15} ${1 \over 3}$^{10} + {6} ${1 \over 6}$^{10}\) = 0,271812128$

Což se schoduje s těmi výsledky z druhého tématu. Ještě jednou děkuji, jsem zase o něco chytřejší...

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2011 08:51

pravdepodobnosť 7

#2 19. 06. 2012 15:35

Re: pravdepodobnosť 7

#3 19. 06. 2012 16:04

Re: pravdepodobnosť 7

#4 19. 06. 2012 16:14

Re: pravdepodobnosť 7

#5 19. 06. 2012 16:27

Re: pravdepodobnosť 7

#6 19. 06. 2012 16:33

Re: pravdepodobnosť 7

#7 19. 06. 2012 16:47

Re: pravdepodobnosť 7

#8 19. 06. 2012 17:16

Re: pravdepodobnosť 7

#9 19. 06. 2012 17:50

Re: pravdepodobnosť 7

#10 19. 06. 2012 20:07

Re: pravdepodobnosť 7

#11 19. 06. 2012 21:26

Re: pravdepodobnosť 7

#12 20. 06. 2012 02:41

Re: pravdepodobnosť 7

#13 20. 06. 2012 10:38

Re: pravdepodobnosť 7

Zápatí