Matematické Fórum

misa · 22. 06. 2012 10:35

Ahoj, prosím poraďte mi jak dokázat, že $133|11^{n+1} + 12^{2n-1}$
máme to dělat matematickou indukcí, ale já jí stále nějak nechápu. Děkuju za jakoukoliv radu.

krisstl · 22. 06. 2012 12:02

Ďôkaz MI sa používa pri výrokoch obsahujúcich prirodzené číslo n. Pozostáva z dvoch krokov.
1. krok. Dokážeme výrok pre n=1.
Do zadaného výroku všade za premennú n dosaď 1.
Riešiš
$133|11^{1+1}+12^{2.1-1}$
Zistíš úpravou že 133 delí 133.Teda výrok pre n=1 platí.
2.krok. Dokazujeme, že ak výrok platí pre ľubovoľné k prirodzené tak platí aj pre prirodzené číslo k+1.
Máme výrok v tvare inplikácie. Výchádzame z predpokladu: Nech náš výrok platí pre k prirodzené.
Teda platí
$133|11^{k+1}+12^{2.k-1}$
Máme dokázať že platí pre n=k+1. Dokazujeme
$133|11^{(k+1)+1}+12^{2.(k+1)-1}$
Úpravami sa snaž prísť k výsledku
$11.(11^{k+1}+12^{2k-1})+133.12^{2k-1}$
Máš výraz v tvare súčtu. 133 delí prvý sčítanec podľa predpokladu, 133 delí druhý sčítanec evidentne.

misa · 22. 06. 2012 12:25

↑ krisstl:
Upravuju, ale k tomu Tvému poslednímu řádku se nemůžu dobrat, zkouším to přes vyjádření $^{}11^{1}=12^{1}-12^{0}$ ale stále končím u $12^{2k-1})+133.12^{2k-1}$

jarrro · 22. 06. 2012 13:43 — Editoval jarrro (22. 06. 2012 13:43)

$11^{k+1+1}+12^{2\left(k+1\right)-1}=11\cdot 11^{k+1}+144\cdot 12^{2k-1}=\nl =11\cdot 11^{k+1}+11\cdot 12^{2k-1}+133\cdot 12^{2k-1}$

misa · 22. 06. 2012 14:14

↑ jarrro:
moc děkuju, teď už je mi to jasný. Ještě jednou moc díky. Můžu se ještě zeptat jak se dělá toto?
$^{}n\in \mathbb{N}: \sum_{_{i=1^{}}}^{n} i.(3i+1) = n.(n+1)^{2}$
také to mám dokázat pomocí indukce. Rozepsala jsem si to na
$4+14+30+52+...+(3n^{2}+n)$
ale nevím, jestli mi to k něčemu pomůže, tuším, že tady se to dělá jinak.

jarrro · 22. 06. 2012 18:59 — Editoval jarrro (22. 06. 2012 19:06)

pre jednotku je to pravda, lebo $1\left(3\cdot 1+1\right)=1\cdot\left(1+1\right)^2=4$
nech platí pre k potom
$\sum_{i=1}^{k+1}{i.$3i+1$} =k.(k+1)^{2}+$k+1$$3\(k+1$+1\)=\nl =$k+1$$k\(k+1$+3$k+1$+1\)=$k+1$$k+2$^2$

misa · 23. 06. 2012 08:54

↑ jarrro:
Děkuju, úpravě rozumim, jen nevím, proč $\sum_{i=1}^{k+1}{i.$3i+1$} =k.(k+1)^{2}+$k+1$$3\(k+1$+1\)$
proč rovnou nenahrazuji n výrazem k+1? Je to kvůli součtu? Děkuju moc!

Mr.Pinker · 23. 06. 2012 10:35

↑ misa: $^{}n\in \mathbb{N}: \sum_{_{i=1^{}}}^{n} i.(3i+1) = n.(n+1)^{2}$ využíváš tohohle to je indukční předpoklad který si pro nějaké nejmenší číslo už ověřil a indukce řiká když to platí pro n platí to i pro n+1 takže vemeš indukční předoklad a přičteš k němu $$k+1$$3\(k+1$+1\)$ což je zvětšení té původní sumy o k+1 člen

Phate · 23. 06. 2012 10:39

↑ misa:
protoze to musis dokazat, ze to plati pro k+1 ten souctovej vzorec, to zatim nevis, jestli to plati, proto si to rozdelis na dva vyrazy $\sum_{i=1}^{k+1}{i.$3i+1$}=\sum_{i=1}^{k}{i.$3i+1$}+(k+1)(3(k+1)+1)$ , kde prvni vyraz vis cemu se rovna z predpokladu (pro nej ten sumacni vzorec plati) a druhy je normalni k+1 clen toho souctu a kdyz to roznasobis a povytykas, tak uvidis, ze to plati i pro k+1 ten sumacni vzorec.

Matematické Fórum

#1 22. 06. 2012 10:35

důkaz indukcí

#2 22. 06. 2012 12:02

Re: důkaz indukcí

#3 22. 06. 2012 12:25

Re: důkaz indukcí

#4 22. 06. 2012 13:43 — Editoval jarrro (22. 06. 2012 13:43)

Re: důkaz indukcí

#5 22. 06. 2012 14:14

Re: důkaz indukcí

#6 22. 06. 2012 18:59 — Editoval jarrro (22. 06. 2012 19:06)

Re: důkaz indukcí

#7 23. 06. 2012 08:54

Re: důkaz indukcí

#8 23. 06. 2012 10:35

Re: důkaz indukcí

#9 23. 06. 2012 10:39

Re: důkaz indukcí

Zápatí