Matematické Fórum

Dalsi Uzivatelske Jmeno

Zdravím, mám vyjádřit $cos\frac{11\pi }{8}$ bez užití goniometrických funkcí (lze však užít při výpočtu). Což o to, to mi přijde snadné, ale mám to udělat co nejvíce pomocí komplexních čísel, a bez užití vzorců.

Takže si to napíšu takhle:
$(cos\frac{11\pi }{4}+ i sin\frac{11\pi }{4})=(cos\frac{11\pi }{8}+ i sin\frac{11\pi }{8})^{2}$

takže Moivrova věta, napravo se zbavím závorky a pak porovnám reálné části, takže mám tohle:

$cos\frac{11\pi }{4}+ sin^{2}\frac{11\pi }{8}=cos^{2}\frac{11\pi }{8}$

kde si pak ten $cos\frac{11\pi }{4}$ přepíšu na $cos\frac{3\pi }{4}$ , odmocním, to vpravo hodím do absolutní hodnoty. No a pak použiji sčítací vzorce na kosinus vlevo a vzorec pro poloviční argument na ten sinus. Prý by to ale mělo jít bez toho, vzorce bych neměla použít, a z toho jsem na větvi:(. Jediné, co mě napadá, je opět použít Moivrovu větu, třeba ještě na ten $cos\frac{3\pi }{4}$ , ale to stejně opět vede na použítí vzorce. Nevíte někdo, co s tím, já si s tím lámu hlavu už pár dní a fakt nevím...

jelena · 20. 05. 2012 17:45

Zdravím,

co jsem se dívala na materiály vašeho vyučujícího (je tak?), tak používá vzorec pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru.

Asi bych ještě začala úpravou $\cos\frac{11\pi }{8}=\cos$\pi+\frac{3\pi }{8}$$ atd.

Mám dojem, že ve Tvém povídání se trochu obtížně orientovalo, asi bys obdržela dřív odpověď od kolegů, pokud bys napsala matematický zápis. Ať se podaří.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 20. 05. 2012 22:01

Ahoj, děkuju za snahu, ale moudrá z toho nejsem:(... Jestli to jsou materiály mého vyučujícího nevím, ale spolužák už mě na ně odkazoval, tak možná jo, ale k ničemu mi to nepřišlo...? Tam se ty úlohy řeší pomocí vzorce pro poloviční argument, což jsem měla původně, to nechce. No a to s tím násobením to je vlastně to, co mám já, ne? Akorát tam v té závorce hned vyjdou takové úhly, že se to dá převést na konkrétní hodnoty, to já tu nemám... Nejspíš nechápu, kam míříš:(.

Můžu to tedy převést na tenhle tvar, to vím
$\sqrt{cos\frac{3\pi }{4}+sin^{2}\frac{3\pi }{8}}=|cos\frac{11\pi }{8}|$

no ale teď nevím, co si počít s těmi výrazy pod odmocninou, když nesmím užít vzorců...

jelena · 20. 05. 2012 23:47

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:

tak to neporadím - bohužel při každé úpravě (i když začnu přes komplexní čísla), tak se dostanu k momentu, kdy potřebuji použit některý goniometrický vzorec.

Tak nevím, kolik vzorců je málo nebo moc, když podle Tebe:

ale mám to udělat co nejvíce pomocí komplexních čísel, a bez užití vzorců.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 21. 05. 2012 15:57

No právě, já taky vždycky došla do fáze, kdy jsem prostě musela použít vzorec, tak jsem myslela, že na to jdu nějak špatně. Tak teď nevím, co si o tom myslet. Kdybych se náhodou dozvěděla, jak se na to mělo jít jinak, tak to sem dám. Moc děkuju za snahu a pokusím se vzít si k srdci tu radu o srozumitelnosti:).

jelena · 22. 06. 2012 18:20

Zdravím,

měsíc uplynul a včera jsem dávala odkaz na toto téma a asi tak to může být:

$\sqrt{\cos\frac{3\pi }{4}+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi }{4}}=\cos\frac{3\pi }{8}+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi }{8}$
$\sqrt{\cos\frac{3\pi }{4}+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi }{4}}-\cos\frac{3\pi }{8}=\mathrm{i}\sin\frac{3\pi }{8}$

teď umocnit levou a pravou strany a vyjádřit $\cos\frac{3\pi }{8}$ . Snad tak.

vanok · 22. 06. 2012 19:34

Poznamka: celkom dobre nerozumiem tomuto:
bez užití goniometrických funkcí (lze však užít při výpočtu)

Ide asi o nejaku obkluku?

Mozno toto je dobra moznost:
Moivre-ova veta
$(cos\frac{11\pi }{4}+ i sin\frac{11\pi }{4})=(cos\frac{11\pi }{8}+ i sin\frac{11\pi }{8})^{2}$
ako si navrhol tu
↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:

sa da pouzit.

Pretoze ten vzorec sa pise

$\frac {-\sqrt 2}2 +i \frac {\sqrt 2}2=(cos\frac{11\pi }{8}+ i sin\frac{11\pi }{8})^{2}$
ca sa pise aj
$\frac {\sqrt 2}2 (-1+i)=(cos\frac{11\pi }{8}+ i sin\frac{11\pi }{8})^{2}$
Tento posledny zapis znamena, ze treba najst "odmocninu(y)" komplexneho cisla $\frac {\sqrt 2}2 (-1+i)$ ....

No nie som si celkom isty, ze toto sa caka od teba pri tomto cviceni.

jelena · 22. 06. 2012 22:00

↑ vanok:

Zdravím a děkuji za další pohled.

Ještě lepší se mi jevila 4. odmocnina s použitím pi/2 jako výchozího.

Těchto úloh zde bylo opakovaně, jsou z pedagogické fakulty, dalo se řešit kombinaci goniometrických vzorců a komplexních čísel. Ovšem již kolegyňka ↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno: sdělila, že musí být použito hlavně komplexních čísel a nevím - jak moc nebo málo.

Protože mně se vždy dařilo dostat na goniometrické identity.

Pokud nezapomenu a budu mít čas (teď bohužel nemám), tak projdu i další téma, co se k tomu okruhu objevila, ale cca je to obdobné jako v odkazu.

vanok · 23. 06. 2012 08:10 — Editoval vanok (23. 06. 2012 10:39)

↑ jelena:
Pozdravujem,
Tu mozu byt taketo identity zaujimave;
$$ \frac {\sqrt{2-\sqrt 2} }2+i\frac{\sqrt{2+\sqrt 2 }}2$^2=\frac {\sqrt 2}2 (1+i)$
$$ -\frac {\sqrt{2-\sqrt 2} }2-i\frac{\sqrt{2+\sqrt 2 }}2$^2=\frac {\sqrt 2}2 (1+i)$
$$ \frac {\sqrt{2-\sqrt 2} }2-i\frac{\sqrt{2+\sqrt 2 }}2$^2=$ ...

Poznamka: Vdaka tvojmu odkazu, (cf. vzorove cvicenia) je mi jasne, ze cvicenie sa da napisat aj takto,
vyjadrite $cos\frac{11\pi }{8}$ (v jeho realnej forme)
A tak pochopitelne ze vo vypoctoch mozeme pouzit vsetki vlasnosti goniometrickych funkcii.

A preto mame...

Edit (dufam ze posledny): A este 3 zname vzorce ( jednoduche na dokazanie)

$\left|\cos\left(\frac x2\right)\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}2},\qquad\left|\sin\left(\frac x2\right)\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}2} \tan\left(\frac x2\right)=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}$

jelena · 23. 06. 2012 12:59

↑ vanok:

Zdravím a děkuji,

formulace úlohy "vyjádřete v reální formě" je asi nejlépe vystihující, co se požaduje. Souhrn úloh a reakcí je v tomto tématu (kolegyňka píše, že řešení bylo vráceno, protože nepoužila požadovanou metodu).

Osobně jsem spíš čekala, že někdo z autorek se zastaví na konzultaci za vyučujícím a přednese nám jasnou představu, jak na tuto úlohu.

No jo :-)

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2012 21:11 — Editoval Dalsi Uzivatelske Jmeno (18. 05. 2012 21:12)

Goniometrické funkce a komplexní čísla

#2 20. 05. 2012 17:45

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#3 20. 05. 2012 22:01

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#4 20. 05. 2012 23:47

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#5 21. 05. 2012 15:57

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#6 22. 06. 2012 18:20

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#7 22. 06. 2012 19:34

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#8 22. 06. 2012 22:00

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#9 23. 06. 2012 08:10 — Editoval vanok (23. 06. 2012 10:39)

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

#10 23. 06. 2012 12:59

Re: Goniometrické funkce a komplexní čísla

Zápatí