Matematické Fórum

barbora87 · 22. 06. 2012 22:05

Ahoj, prosim chtela bych se zeptat na par veci ohledne vety a dukazu Gramův-Schimidova ortogonalizacniho procesu:

Věta: Nechť $M=\{u_{1},...u_{k}\}$ } je libovolná báze podprostoru W unitárního prostoru (Vn, g). Pak existuje ortonormální báze $\{v_{1},...v_{k}\}$ prostoru W tak, že $v _{i}\in \{u_{1},...u_{i}\}$ pro kazde i od 1 do K.

Důkaz se dělá mat indukcí:
1. jasne pro 1
2. K>1 a předpokládáme že ex. ortonormální báze $\{v_{1},...v_{k-1}\}$ takova ze $v_{i}\in <u_{1},...u_{i}>$
polo6me nzn9 $v_{k}=u_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{g(u_{k},v_{j})}{g_2(u_{k},v_{j})}v_j$ pak $g(v_{k},v_{i})=g(u_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{g(u_{k},v_{j})}{g_2(u_{k},v_{j})}v_j, v_i)=g(u_k,v_i)-g(u_k,v_i)=0$

nechapu tu upravu toho vzorce, mam jeste poznamku:
je-li $u\in V_n$ libovolný vektor, polozime $u=\frac{v}{\sqrt{g_{2}(v)}}$ dostaneme $g_2(u)=g(\frac{v}{\sqrt{g_{2}(v)}},\frac{v}{\sqrt{g_{2}(v)}})$ a to se rovna $\frac{1}{\sqrt{g_{2}(v)}}g_{2}(v)=1$ uz ani tohle nechapu, prosim mohl by mi to nekdo vysvetli treba rozpsat, priklady zvladam ale tuhle upravu a kdybych mela nekomu tuhle vetu vysvetlit podrobne, tak to nezvladam. Dekuji moc predem

vanok · 23. 06. 2012 10:52

Ahoj ↑ barbora87:,
Vo tvojom prispevku je viacej nepresnosti.

Mozes si to opravit vdaka
http://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80 … dt_process

Alebo lepsie, vdaka
http://fr.wikipedia.org/wiki/Proc%C3%A9 … am-Schmidt

Su tam aj riesene priklady.

Alkac · 23. 06. 2012 10:58

Vsechno jsou to vlastnosti toho skalarniho soucinu g. Zkus si to treba napsat pro standartni skalarni soucin. Uplne posledni vzorec mas spatne, ve jmenovateli nema byt odmocnina.

Sklarni soucin dvou stejnych vektoru je druha mocnina normy, takze skalarni soucin vektoru deleneho odmocninou normy s tim samym je jedna...

S tou sumou je to tak, ze nenulovy clen dostanes jen pro i=j, ostatni se diky ortonormalite vynuluji.

Matematické Fórum

#1 22. 06. 2012 22:05

Ortogonalizační proces, dukaz

#2 23. 06. 2012 10:52

Re: Ortogonalizační proces, dukaz

#3 23. 06. 2012 10:58

Re: Ortogonalizační proces, dukaz

Zápatí