Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 06. 2012 17:06

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

tan(x)=x

Pozdravujem.

Tu je jeden pekny problem:

Nech $(x_i)$ su vsetky pozitivne korene rovnice $\tan(x)=x$ uporiadane stupajuco.
Dokazte, ze $\sum_{i=1}^{+\infty}\frac 1 {x_i^2}= \frac 1 {10}$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 23. 06. 2012 21:36 — Editoval pietro (23. 06. 2012 21:41)

pietro
Příspěvky: 4762
Reputace:   187 
 

Re: tan(x)=x

↑ vanok: Ahoj, veľmi pekné ..teším sa, mňa osobne zaujalo, netrúfam si ale zvládnuť !

Ako toto môže súvisieť s 1/ desiatimi prstami na ruke, to neviem pochopiť...

Offline

 

#3 23. 06. 2012 21:56

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: tan(x)=x

Ahoj ↑ pietro:,
Je viac dokazov tejto vlasnosti, no ale bol by som rad keby to niekto skusil najst.
Mas pravdu, tento problem je v  niecom fascinujuci.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 24. 06. 2012 00:05

check_drummer
Příspěvky: 4658
Reputace:   102 
 

Re: tan(x)=x

↑ vanok:
Ahoj, zkoušel jsem řešit přes Taylorův rozvoj, ale ten je díky nespojitosti tan(x) definován jen na intervalech $(-\frac\pi2+k.\pi;\frac\pi2+k.pi)$, na čemž jsem skončil. Rovněž jsem zkoušel spočítat pro uvedená $x_i$ hodnotu $\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\frac 1 {tan^2(x_i)}$, ale zatím také nic...


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#5 24. 06. 2012 13:25

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: tan(x)=x

↑ check_drummer:,
Pozdravujem, jedna moznost na dokaz je pouzitie theoremy o residuach  (Théorème des résidus,Residue theorem) aplikovanu na dobre vybranu funkciu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 30. 06. 2012 12:41

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: tan(x)=x

Indikacia:
Ak chce niekto riesit tento problem, vdaka teoreme o residuach, tam moze pouzit tuto funkciu
$g(x)=\frac{\sin(z)}{z\cdot(\sin(z)-z\cos(z))}=\frac{\tan(z)}{z\cdot(tan(z)-z)}=\frac1{tan(z)-z}+\frac 1z $, ktorej residus su $0;x_n;-x_n$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 09. 07. 2012 15:42

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: tan(x)=x

Pozdravujem vsetkych, co zaujal tento problem.

Tu je dokument, kde je krasne dokazany dany problem viacerymy metodamy, ako aj ine vlasnosti, tykajuce sa tohto problemu
http://alain.pichereau.pagesperso-orang … %29=x.html

Sice je to po francuzky, ale maly slovnik postaci :-)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson