Matematické Fórum

drabi · 24. 06. 2012 16:27

Ahoj,
prosím, mohl by mi někdo pomoct s tímto příkladem, nevím jak postupovat a jsem dost ztracená

Spočtěte integrál $\int_\Gamma x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$ , kde $\Gamma = \{[x,y,z] \in \mathbb{R}^3, x^2 + y^2 = z < x\}$ je orientovaná tak, aby z-ová složka normály byla záporná

díky za jakoukoliv nápovědu

Rumburak

Ahoj.

Plocha $\Gamma$ je explicite popsána rovnicí tvaru $z = f(x, y)$ , kde body $[x, y]$ vyplňují kolmý průmět $M$ této plochy do roviny $Pxy$ .
Urči množinu $M$ a pak použij větu, která daný plošný integrál 2. typu převede na dvourozměrný integrál přes množinu $M$ .

EDIT. Toto je špatně, přehlédl jsem se pokud jde o integreční proměnné.

drabi · 25. 06. 2012 10:11 — Editoval drabi (25. 06. 2012 10:16)

↑ Rumburak:
ahoj,
zkoušela jsem to, jenže trochu mě zaráží ta integrace přes z..
zkusím napsat, kam jsem se dostala:

$f(x,y,z) = (x, 0, 0)$
$g(u,v) = (u, v, u^2 + v^2), (u,v) \in I, I = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2, u^2 + v^2 < u\}$
$f(g(u,v)) = (u, 0, 0)$
$n(g(u,v)) = (-2u, -2v, 1)$
$n_0(g(u,v)) = \frac{1}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}} (-2u, -2v, 1)$
$n_0(0,0,1) = (0,0,1) = -\nu (0)$
$f(g(u,v)) \cdot n(g(u,v)) = -2u^2$

$\int_{\Gamma} x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int \int_{u^2 + v^2 < u} 2u^2 \mathrm{d}u \mathrm{d}v$

je to tak, nebo to dělám špatně?

Rumburak · 25. 06. 2012 10:41

↑ drabi:

Promiň, nepozorně jsem si přečetl zadání - měl jsem za to, že se má počítat $\int_\Gamma x \mathrm{d}y \mathrm{d}x$
a podle toho jsem reagoval.

Nad "novou situací", která se mi zdá ne tak jednoduchá, se ještě zamyslím.

drabi · 25. 06. 2012 10:55

↑ Rumburak:
díky

Rumburak

↑ drabi:

Označení z mého předchozího příspěvku ignoruj. Nyní bude $f(x,y,z)$ značit integrovanou funkci , tedy $f(x,y,z) := x$ .
Z charakteru plošného integrálu $I:=\int \!\!\!\int_\Gamma f(x,y,z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z$ je zřejmé, že bychom chtěli popsat plochu $\Gamma$ rovnicí
$x = g(y, z)$ , kde $[y, z]$ bude probíhat vhodnou oblast $M$ . Potom podle zmíněné věty o převodu plošného integrálu
na dvourozměrný bude

$I =\pm\int \!\!\!\int_M f(g(y,z), y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z$ ,

kde znaménko se určí podle orientace plochy. Východiskem pro nalezení množiny $M$ a funkce $g$ je popis té plochy

$\Gamma = \{[x,y,z] \in \mathbb{R}^3, x^2 + y^2 = z < x\}$ .

Z podmínek $x^2 + y^2 = z < x$ dostáváme

(1) $0 < x^2 < x$ , tedy $0 < x < 1$ a proto i $0 < z < 1$ ,

(2) $0 \le y^2 < z$ a tedy $-\sqrt{z} < y < \sqrt{z}$ , $x = \sqrt{z - y^2}$ .

Odtud $g(y, z) := \sqrt{z - y^2}$ .

OPRAVA. Množina $M$ nebyla určena dobře, protože nebyla důkladně zohledněna podmínka $z < x$ , tj. $z < \sqrt{z - y^2}$ ,
odkud $-\sqrt{z-z^2} < y < \sqrt{z-z^2}$ . Takže bude

$M = \{\,[y,z] \in \mathbb{R}^2 : 0 < z < 1 , -\sqrt{z-z^2} < y < \sqrt{z-z^2} \,\}$

Znaménko $\pm$ se zde určí podle toho, zda při pohledu na plochu ve směru záporné poloosy x vidíme její vnější nebo vnitřní povrch
(což je definováno orientací normály).

drabi · 25. 06. 2012 19:21

↑ Rumburak:
chápu to tedy správně, že změním v tomto případě znaménko? ty orientace mi nejsou moc jasné.. Každopádně děkuji moc za pomoc:)

Rumburak · 26. 06. 2012 10:01

Ve svém příspěvku ↑ Rumburak: jsem ještě opravil chybu v určení množiny M.

K Tvému poslednímu dotazu: plocha $\Gamma$ je částí plochy $S$ o rovnici $z = x^2 + y^2$ , která je hranicí rotačního paraboloidu
určeného nerovnici $x^2 + y^2 \le z$ . Rovina o rovnici $z = x$ rozdělí plochu $S$ na dvě části, z nichž $\Gamma$ je ta, která se nachází
"pod" touto rovinou. Když bychom se "dívali" na plochu $\Gamma$ dejme tomu z bodu $[10, 0, 0]$ (tedy ve směru záporném na ose x),
viděli bychom její vnější stranu, což je dáno definovanou polohou vektoru vnější normály - "aby jeho z- ová souřadnice byla záporná".
Normálový vektor plochy $\Gamma$ v jejím bodě $[x,y,z]$ bude určen - až na nenulový násobek - gradientem funkce $x^2 + y^2 - z$
v tomto bodě, což je vektor $(2x,2y,-1)$ , tedy podle definice z úlohy vektor vnější normály, jehož x-ová souřadnice je kladná,
jak již víme, takže popsaný pohled by byl pohledem na vněší stranu.
Ve vzorci, který jsem posledně uvedl, bude proto nutno použít unaménko + . Viz Rektorys: Přehled užité matematiky, věta 14.8.3.

drabi · 26. 06. 2012 10:03

↑ Rumburak:
jo super, diky moc za vycerpavajici odpoved

drabi · 26. 06. 2012 19:39

Ještě se k tomuto příkladu vracím, abych to dotáhla do konce:

takže, pokud to dobře chápu následně se bude postupovat takto:

$f(g(y,z)) = (\sqrt{z- y^2},0,0)$
$n(g(y,z)) = (1, \frac{y}{\sqrt{z-y^2}}, - \frac{1}{2\sqrt{z-y^2}})$
$f(g(y,z)) \cdot n(g(y,z)) = \sqrt{z- y^2}$

$\int_\Gamma x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int \int_M \sqrt{z- y^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}z, M = \{\,[y,z] \in \mathbb{R}^2 : 0 < z < 1 , -\sqrt{z-z^2} < y < \sqrt{z-z^2}\}$

je tomu tak?

Rumburak · 26. 06. 2012 22:25

↑ drabi:

Podívám se na to zítra, pro dnešek už musím končit.

Rumburak

↑ Rumburak:
Ano, je to, myslím, dobře. Ale není mi jasné, proč se tam snažíš prosazovat ten (normálový ??) vektor $\vec{n}$ (nakonec to stejně vyšlo
naprázdno). Mám za to, že Tě zmátl vzorec, který převádí mezi sebou plošné integrály druhého a prvního typu, obecně

$\int\!\!\!\int_P(f_1\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z + f_2\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x + f_3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y) = \int\!\!\!\int_P \vec{f}\,\mathrm{d}\vec{S} = \int\!\!\!\int_P \vec{f}\vec{n}\,\mathrm{d}S$

(vlevo integrály druhého typu, vpravo prvního typu), speciálně např.

$\int\!\!\!\int_P f_3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int\!\!\!\int_P f_3 n_3\,\mathrm{d}S$ .

Počítat integrály 2. typu převodem na integrály 1. typu je většinou brutálně nevýhodné.

drabi · 27. 06. 2012 16:15

↑ Rumburak:
dobře, ale jak bych to potom měla řešit?

Rumburak · 27. 06. 2012 16:26

↑ drabi:

Opět pomocí té věty, na kterou jsem odkazoval v tom paralelním vlákně zde.
Prostuduj si tam zároveň ten můj (zatím) poslední příspěvek. Viz též ↑ Rumburak: , přechod od integrálu na 2. řádku
k integrálu na 5. řádku je proveden podle doporučované věty.

drabi · 27. 06. 2012 16:30

↑ Rumburak:
jasně, takže to je vlastně bez toho $\overrightarrow{n}$

$I:=\int \!\!\!\int_M f(g(y,z), y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z= \int \int_M \sqrt{z- y^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}z, M = \{\,[y,z] \in \mathbb{R}^2 : 0 < z < 1 , -\sqrt{z-z^2} < y < \sqrt{z-z^2}\}$

tak pokud je to tak, tak už je mi to jasné:)

Rumburak · 27. 06. 2012 16:36

↑ drabi:

Ano, to je ono. :-)

drabi · 27. 06. 2012 16:41

↑ Rumburak:
děkuju velice za opravdu vyčerpávající pomoc:)

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2012 16:27

Plošný integrál 2.druhu

#2 25. 06. 2012 09:46 — Editoval Rumburak (27. 06. 2012 11:35)

Re: Plošný integrál 2.druhu

#3 25. 06. 2012 10:11 — Editoval drabi (25. 06. 2012 10:16)

Re: Plošný integrál 2.druhu

#4 25. 06. 2012 10:41

Re: Plošný integrál 2.druhu

#5 25. 06. 2012 10:55

Re: Plošný integrál 2.druhu

#6 25. 06. 2012 12:00 — Editoval Rumburak (27. 06. 2012 16:27)

Re: Plošný integrál 2.druhu

#7 25. 06. 2012 19:21

Re: Plošný integrál 2.druhu

#8 26. 06. 2012 10:01

Re: Plošný integrál 2.druhu

#9 26. 06. 2012 10:03

Re: Plošný integrál 2.druhu

#10 26. 06. 2012 19:39

Re: Plošný integrál 2.druhu

#11 26. 06. 2012 22:25

Re: Plošný integrál 2.druhu

#12 27. 06. 2012 15:29 — Editoval Rumburak (27. 06. 2012 16:06)

Re: Plošný integrál 2.druhu

#13 27. 06. 2012 16:15

Re: Plošný integrál 2.druhu

#14 27. 06. 2012 16:26

Re: Plošný integrál 2.druhu

#15 27. 06. 2012 16:30

Re: Plošný integrál 2.druhu

#16 27. 06. 2012 16:36

Re: Plošný integrál 2.druhu

#17 27. 06. 2012 16:41

Re: Plošný integrál 2.druhu

Zápatí