Matematické Fórum

Kája2 · 25. 06. 2012 17:45 — Editoval Kája2 (25. 06. 2012 19:25)

Dobrý den, mohl by mi někdo, prosím trošku osvětlit jeden krok v důkazu matematickou indukcí příkladů:
$\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+.......+ \frac{1}{(2n)^2}\le \frac{5}{4}$
První krok indukce je v pořádku, v druhém kroku se k oběma stranám přičítá výraz:
$\frac{1}{(2k+1)^2}+\frac{1}{(2k +2)^2}-\frac{1}{k^2}$
.Chtěl bys se zeptat, jak příjdu na to, že zrovna musím přičíst k oběma stranám tento výraz.Vím, že se dosazuje n= k +1.Tudíž je mi jasné, pže přičítám výraz $\frac{1}{(2(k+1))^2}$ ,ale už nerozumím tomu, proč dosazuji i $\frac{1}{(2k+1)^2}-\frac{1}{k^2}$
.Budu moc rád, kdyby mě někdo trošku nakopnul.

jarrro · 25. 06. 2012 19:52

$\frac{1}{\left(k+1\right)^2}+\frac{1}{\left(k+2\right)^2}+\cdots +\frac{1}{\left(2\left(k+2\right)\right)^2}=\color{red}-\frac{1}{k^2}\color{black}+\frac{1}{k^2}+\cdots +\frac{1}{\left(2k\right)^2}\color{red}+\frac{1}{\left(2k+1\right)^2}+ \frac{1}{\left(2k+2\right)^2}$

Kája2 · 25. 06. 2012 20:07

Aha, takže vlastně mezi členy $\frac{1}{(2k)^2}$ a $\frac{1}{(2k+2)^2}$ se vyskytuje člen $\frac{1}{(2k+1)^2}$ a tudíž, aby mi platila rovnost tak musím tedy člen $\frac{1}{(2k)^2}$ odečíst.Chápu to správně?Takže kdybych měl výraz $\frac{1}{n+1} + .......+ \frac{1}{(3n+1)}$ , tak budu postupovat tak, že příčtu výraz $\frac{1}{3n+2} + \frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}-\frac{1}{n+1}$ ?