Matematické Fórum

davidx · 26. 06. 2012 15:34 — Editoval davidx (26. 06. 2012 15:35)

Funkce
$y=\frac{x^3}{x^2-1}$

První derivace
$y'=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$

Podmínka pro stacionární body $x^2(x^2-3)=0$
Stacionární body $x1=-\sqrt{3}, x2=\sqrt{3}, x3=0$

Maximum v bodě $[\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}]$
Minimum v bodě $[-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}]$

Každopádně dle grafu si myslím, že tato funkce lokální extrémy nemá - mám pravdu? Jak to ověřit?

Děkuji za pomoc!!

Rumburak · 26. 06. 2012 15:43

Exrémy v bodech $x1=-\sqrt{3}, x2=\sqrt{3}$ jsou pouze lokální.
Globální (tj. absolutní) extrémy vzhledem k celému svému def. oboru funkce opravdu nemá.

davidx · 26. 06. 2012 15:45

Rumburak napsal(a):
Exrémy v bodech $x1=-\sqrt{3}, x2=\sqrt{3}$ jsou pouze lokální.
Globální (tj. absolutní) extrémy vzhledem k celému svému def. oboru funkce opravdu nemá.

Takže lokální extrémy jsou vždy pouze stacionární body?
Globální extrémy bych získal dosazením stacionárních bodů do vyšetřované funkce?

Děkuji za pomoc a ujasnění!

davidx · 26. 06. 2012 15:52

Již jsem to pochopil - lokální maximum je v bodě, kde se mění funkce z rostoucí na klesající - tedy ve stacionárním bodu. Děkuji za pomoc!

Případně pokud by měl někdo problém - pochopil jsem to z tohoto dokumentu.

Rumburak

Lokální extrémy jsou extrémy vhledem k nějakému okolí. O něco přesněji: Funkce f má v bodě c lokální extrém (určitého typu),
pakliže exstuje okolí U bodu c takové, že f(c) je extrémem (uvedeného typu) funkce f vzhledem k množině U (nebo též na množině U).

Například funkce $f(x) = x\,\cos\frac{1}{x} , x > 0$ má nekonečně mnoho lokálních extrémů, ale žádný globální.

Co je to stacionární bod ? Ten, kde je derivace = 0 ? Pokud ano, tak extremální bod nemusí být stac. bodem - derivace v něm nemusí existovat,
případně může jít o hraniční body množiny , jako jsou např. krajní bod uz. intervalů.

davidx · 26. 06. 2012 17:00 — Editoval davidx (26. 06. 2012 17:01)

Ještě bych se chtěl dotázat na funkci $y=\frac{x^2}{x^2+1}$

První derivace je: $y=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

Podmínka pro stacionární body: $2x = 0$
Stacionární bod: $x = 0$

V prvním intervalu od $-\infty$ po $0$ je KLESAJÍCÍ v druhém intervalu od $0$ po $+\infty$ je ROSTOUCÍ.

Jaké má tedy funkce lokální extrémy/extrém, pokud je stacionární bod 0 - je zároveň lokálním extrémem?
Resp. jaké je LOKÁLNÍ MINIMUM A MAXIMUM?

Ještě se dodatečně zeptám, zda-li asymptota je se směrnicí nebo bez?
Podle mě je bez směrnice, ale nejsem si jistý.

Děkuji za pomoc!!!

Rumburak · 26. 06. 2012 17:09

↑ davidx:
Ano , v bodě 0 je abslolutní (a zároveň lokální) ostré minimum (každý absolutní extrém je zároveň lokálním extrémem,
obecně ale ne naopak). Žádné jiné extrémy ta funkce nemá. Asymptotou jejího grafu v nekonečnu je přímka o rovnici y = 0x +1 ,
jejíž směrnicí je 0.

davidx · 26. 06. 2012 17:15 — Editoval davidx (26. 06. 2012 17:16)

Rumburak napsal(a):
↑ davidx:
Ano , v bodě 0 je abslolutní (a zároveň lokální) ostré minimum (každý absolutní extrém je zároveň lokálním extrémem,
obecně ale ne naopak). Žádné jiné extrémy ta funkce nemá. Asymptotou jejího grafu v nekonečnu je přímka o rovnici y = 0x +1 ,
jejíž směrnicí je 0.

Děkuji! Případně bych se ještě na nějaký příklad zeptal - moc mi pomáháte.

krisstl · 26. 06. 2012 17:41

↑ davidx:
Môžte mi prosím prezradiť pomocou akého programu vykreslujete grafy? Pri priebehu funkcií sú nápomocné. Tiež by som to vyskúšala. Nemám s tým však skúsenosti. Myslíte že by to zvládol aj začiatočník? Ďakujem.

davidx · 26. 06. 2012 17:44

krisstl napsal(a):
↑ davidx:
Môžte mi prosím prezradiť pomocou akého programu vykreslujete grafy? Pri priebehu funkcií sú nápomocné. Tiež by som to vyskúšala. Nemám s tým však skúsenosti. Myslíte že by to zvládol aj začiatočník? Ďakujem.

Tak buď wolframalpha.com nebo GOOGLE kreslí grafy po zadání funkce do vyhledávání :)

krisstl · 26. 06. 2012 17:55

↑ davidx:
Ďakujem. Vyskúšam to.

Matematické Fórum

#1 26. 06. 2012 15:34 — Editoval davidx (26. 06. 2012 15:35)

Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#2 26. 06. 2012 15:43

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#3 26. 06. 2012 15:45

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

Rumburak napsal(a):

#4 26. 06. 2012 15:52

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#5 26. 06. 2012 16:04 — Editoval Rumburak (26. 06. 2012 16:08)

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#6 26. 06. 2012 17:00 — Editoval davidx (26. 06. 2012 17:01)

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#7 26. 06. 2012 17:09

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#8 26. 06. 2012 17:15 — Editoval davidx (26. 06. 2012 17:16)

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

Rumburak napsal(a):

#9 26. 06. 2012 17:41

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#10 26. 06. 2012 17:44

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

krisstl napsal(a):

#11 26. 06. 2012 17:55

Re: Lokální extrémy funkce - je to správě, prosím?

#12 26. 06. 2012 18:25 — Editoval davidx (26. 06. 2012 18:25) Příspěvek uživatele davidx byl skryt uživatelem davidx.

Zápatí