Matematické Fórum

↑ Matejko42:
Zdravím, nebude problém v tom, že limitní podílové k. se používá pro řady s kladnými členy? Já bych zkusil Leibnitzovo k.

↑ Matejko42:
Je potřeba ověřit, jestli je posloupnost klesající pro rostoucí n. To je myslím jasně vidět.
Také musí platit .
Celé to myslím zvládneš ještě dnes sám.

↑ Matejko42:
Dokažme teda, že pro každé n přirozené platí nerovnost . Obě strany vynásobím , což je jistě kladné číslo. Tedy . Pokrátím, co jde a zbyde - to jistě platí pro každé n přirozené.
Co se týče limity, tak ta je jasná? Pokud ne, dala by se sevřít . Limity krajních funkcí jdou k nule, díky nerovnosemt musí jít i diskutovaná limita prostřední fce k nule. Otázka je, jestli je to pro vidět lépe než pro .

↑ Matejko42:
To mě mrzí. Co na tom konkrétně nechápeš? Předpoklady Leibnitzova kritéria znáš?

↑ Matejko42:
Dobře, ale jak jinak odůvodnit, že je takováto posloupnost klesající? Vezmu člen s indexem n a podívám se, jestli je větší, než člen s indexem n+1. To se snažím vysvětlit pomocí . Můžeš učiteli sice tvrdit, že n! je kladná rostoucí osloupnost a proto 1/n! je klesající, ale dokaž to pro velké n. Z toho mého postupu by to mělo být vidět.
Tomu, že platí, věříš? Já to vidím jako takovou základní limitu. Když pošlu n do nekonečna, tak i n! půjde do nekonečna. A když jedničku "vydělím někonečněm", tak dostanu nulu. (Poslední věty ber v uvozovkách.) Líp to asi vysvětlit nedokážu.

↑ Matejko42:
Když se na to tvé řešení podívám, tak mě praští do očí hned ta první rovnost. Taky není dobře zvolené kritérium, podle kterého určuješ konvergenci. Zvol Leibnitzovo a ověř jeho předpoklady pomocí toho, co jsme si řekli v tomto ↑ skoroakvarista: a tomto ↑ skoroakvarista: příspěvku. Můžeš to zkusit popsat vlastními slovy, ale nepouštěl bych se moc do slohových prací, pokud tomu úplně nerozumíš.

↑ Matejko42:
"Dokopy" to budeš muset poskládat sám. Já bych si napsal řadu, kterou mám řešit. Pod ní jakým kritériem se budu snažit potvrdit konvergenci. Dále postupně ověření předpokladů. K těm jsem snad napsal už dost. Na závěr už jen k čemu jsem došel.

↑ Matejko42:
Ok, tak čemu konkrétně nechápeš?

↑ Matejko42:
To není moc konkrétní problém. Pokud to dobře chápu, tak máš určit, jestli je řada konvergentní, nebo divergentní.
Tak zvolíš nějaké kriérium (nejlépe Leibnizovo, protože to bude fungovat). Musíš ověřit jeho předpoklady. Máme řadu tvaru , pro tebe . Jaké jsou předpoklady?
1) pro každé n přirozené. Faktoriál z přirozeného čísla je větší než nula, tedy jedna lomeno faktoriál z přirozeného čísla bude větší než nula.
2) pro každé n přirozené. Musí tedy platit pro každé n přirozené . Postup jsem už napsal zde↑ skoroakvarista:.
3) . K tomu ti bohužel nenapíšu víc, než už jsem napsal v minulých odpovědích.

Tímto jsi ověřil předpoklady L.k. a můžeš zadanou řadu prohlásit za konvergentní.

↑ Matejko42:
Vzhledem k tomu, že limitní podílové kritérium lze použít pro řady s kladnými členy (a to není případ zadané řady), tak je teda fakt zle. :/
Stejně jako jsi se snažil ověřit předpoklad limitního pod. k., tak ověř pro Leibnizovo. Nic jiného v tom není. A ano to ověření není složité. Zkus si nějak sepsat, co jsem tu psal já. Několikrát si to přečti a třeba to začne dávat smysl. Víc ti asi nepomůžu.

↑ Matejko42:
Ještě mě něco napadlo. Pokud vezmeme řadu s absolutními členy, tedy řadu , a dokážeme, že konverguje, pak bude konvergovat i alternující řada. (Na to existuje věta.)
Dokaž, že konverguje. To můžeš provést pomocí limitního podílového kritéria, jak jsi už řešil. Jen zahoď "mínus jedničky".

↑ Matejko42:
Něco jsem napsal, mrkni sem.
Pokud jde o znění věty, tak bys jí měl mít v materiálech. Konverguje-li řada , pak konverguje také řada .