Matematické Fórum

drabi · 26. 06. 2012 17:25

ahoj,
mám problém s tímto příkladem:

Rozviňte do řady $\int_0^1 \frac{1}{1+e^{x^2}} \mathrm{d}x$

vůbec nevím jak začít, budu tedy ráda za jakoukoliv nápovědu.
Děkuju moc

Stýv · 26. 06. 2012 20:14

ten integrand vypadá jako součet geometrický řady

drabi · 26. 06. 2012 21:52

↑ Stýv:

no to sice ano, ale $\sum_{i=0}^\infty z^i < \infty \Leftrightarrow |z|<1$ a to pro $z = -e^{x^2}, x \in (0,1)$ neplatí, nebo snad ano?

Stýv · 27. 06. 2012 10:51

detail:D a nemá tam být $\int_0^1 \frac{1}{1+e^{-x^2}} \mathrm{d}x$ ? takhle mě taky nic nenapadá

drabi · 27. 06. 2012 11:48

↑ Stýv:
budu doufat, že je to překlep v zadání:D

drabi · 18. 08. 2012 12:56

zjistila jsem, že se nejedná o překlep v zadání, jak jsme si mysleli:

$\sum_{n=0}^\infty(-\mathrm{e}^{-x^2})^n = -\frac{1}{\mathrm{e}^{x^2} + 1}$

tedy

$\int_{0}^\infty \frac{1}{\mathrm{e}^{x^2} + 1} = -\int_{0}^\infty \sum_{n=0}^\infty(-\mathrm{e}^{-x^2})^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^\infty \mathrm{e}^{x-^2 (n+1)} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$

tak snad to pomůže i ostatním :)

Matematické Fórum

#1 26. 06. 2012 17:25

rozvoj do řady

#2 26. 06. 2012 20:14

Re: rozvoj do řady

#3 26. 06. 2012 21:52

Re: rozvoj do řady

#4 27. 06. 2012 10:51

Re: rozvoj do řady

#5 27. 06. 2012 11:48

Re: rozvoj do řady

#6 18. 08. 2012 12:56

Re: rozvoj do řady

Zápatí