Matematické Fórum

Dominik R. · 26. 06. 2012 14:31

Ahoj,
Prosím o pomoc, jak to cl nejvíce zjednodušit
$\frac{-4+\sqrt{496+88\sqrt{3}}}{4}$

byk7 · 26. 06. 2012 21:20

↑ Dominik R.:

Výraz pod velkou odmocninou se budeme snažit zapsat jako $(a\pm b)^2$ (protože se tak potom zbavím odmocniny). Když si to rozepíšem, tak máme $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2=$a^2+b^2$\pm2ab.$ Ze zadání vidíme, že oba sčítance jsou kladné, znaménko $-$ proto nepřichází v úvahu. Máme tedy rovnici $$a^2+b^2$+2ab=496+88\sqrt3.$ Nyní máme dvě možnosti:
1) $a^2+b^2=496\wedge2ab=88\sqrt3,$
2) $a^2+b^2=88\sqrt3\wedge2ab=496.$
Druhá možnost zřejmě nepřichází v úvahu, protože aby součet dvou druhých mocnin nějakých čísel byl násobek druhé odmocniny, musely by obě čísla $a$ a $b$ být nějaké násobky čtvrtých mocnin, což je ale spor, protože součin několika čtvrtých mocnin by zas byla čtvrtá odmocnina.
Tím pádem musí platit první možnost, máme tedy soustavu rovnic
$a^2+b^2&=496 \\ 2ab&=88\sqrt3$
jejím vyřešením dostaneš celkem čtyři dvojice, které to splňují:
$(a,b)\in\{$22,2\sqrt3$,$-22,-2\sqrt3$,$2\sqrt3,22$,$-2\sqrt3,-22$\}.$
Nám stačí vzít jen jedno řešení, řekněme $(a,b)=$22,2\sqrt3$$ (přesvědč se sám, že ostatní řešení povedou ke stejnému výsledku ;-). A dosaďme:
$496+88\sqrt3=$22+2\sqrt3$^2,$ a nyní dosaďme do zadání:
$\frac{-4+\sqrt{496+88\sqrt3}}{4}=\frac{-4+\sqrt{$22+\sqrt3$^2}}{4}=\frac{-4+\left|22+2\sqrt3\right|}{4}=\frac{-4+22+2\sqrt3}{4}=\frac{18+2\sqrt3}{4}=\frac{9+\sqrt3}{2}.$

Hotovo.

jelena · 26. 06. 2012 22:58

↑ byk7:

Zdravím,

k obdobné úpravě jsme měli takovou debatu (celá je zajímavá od začátku díky účastníkům, sebe vynechám). Zde bych volila jeden krok navíc (vytknutí 2) $\sqrt{496+88\sqrt{3}}=2\sqrt{124+22\sqrt{3}}$ , čímž "snáz donutím" člen $22\sqrt{3}$ k rozkladu $2\cdot 11\cdot \sqrt{3}$ .

Taková nostalgie, ach :-)

vanok · 27. 06. 2012 00:29

↑ jelena:,
Pozdravujem,
ano ide o nostalgicke cvicenie... a tiez pekna ilustracia, ako vymysliet bez namahy, "tazke" cvicenia pre ziakov.

Ta kniha o ktorej tu pisu casto foristi: Petakova, existuje vo verzii pdf?

Na tvojom odkaze som prebehol tie tisice stran cviceni... tiez asi nostalgia

Pridam este malu poznamku, ci skor zabavny problem ( ktory sa da riesit na urovni strednej skoly)
Ako spoznat cisla formy $a+b\sqrt 3$ ( a; b cele cisla), ktore su stvorce cisiel tej istej formy?

jelena · 27. 06. 2012 10:35

↑ vanok:

:-) to jen tak - když pročítám některé starší hodnotné příspěvky kolegů.

Odkaz na Petákovou jsem poslala přes PM, ta sbírka není těžká, spíš takový standard, kterou by měl zvládat každý, kdo si troufá sáhnout na dveřní kliky VŠ budov. No jo :-)

Skoro neobsahuje ale úpravy výrazů, pro to je lepší Janeček.
A opravdu kvalitní klasika Přehled středoškolské matematiky a sbírka příkladů od Poláka.

Doma mám takovou raritku ve slovenštině - přijímací pohovory na VŠ se záložkou z děrného štítku (po prolistování mám pocit, že značná část dnešních uchаzečů o VŠ by moc neměla o čem pohovořit).

Pohodový den.

Dominik R. · 29. 06. 2012 09:20

↑ jelena:,↑ byk7:
Děkuji moc.

Matematické Fórum

#1 26. 06. 2012 14:31

Zjednodušení

#2 26. 06. 2012 21:20

Re: Zjednodušení

#3 26. 06. 2012 22:58

Re: Zjednodušení

#4 27. 06. 2012 00:29

Re: Zjednodušení

#5 27. 06. 2012 10:35

Re: Zjednodušení

#6 29. 06. 2012 09:20

Re: Zjednodušení

Zápatí