Matematické Fórum

kolejo · 29. 06. 2012 15:19

Dobrý den všem,
narazil jsem na příklad, v jehož zadání je, že se "to" má udělat matematickou indukcí. Nějak jsem na to nemohl přijít. Díval jsem se na internetu a našel jsem pouze intuitivní geometrický důkaz (spousta čtverečků).

Mohl by mi tedy prosím někdo pomoct s důkazem tohoto tvrzení:
$1^3+2^3\ldots + n^3=(1+2+\ldots n)^2$
zkoušel jsem to "k+1", ale k ničemu to nevedlo.
Má se na to jít přes vyjádření pravé strany (n/2)*(n+1)?

Děkuji,
kolejo

vanok · 29. 06. 2012 15:51

ahoj,
tento problem tu bol rieseni vela krat... staci hladat

inac aj na google mas odpoved za menej ako 5 sekund
https://www.google.com/search?hl=fr& … Do5dMjEfjY

Rumburak

Zdravím.

Označme

(D) $L_n :=1^3+2^3+\ldots + n^3 , P_n :=(1+2+\ldots +n)^2$ .

Máme dokázat , že pro každé $n = 1, 2, 3, ...$ platí výrok

V(n) : $L_n = P_n$ .

1. S důkazem výroku V(1) snad problém není.

2 Předpokládáme, že výrok V(k) platí pro nějaké přiroz. číslo $k$ (takový předpoklad je oprávněný vzhledem k tomu, že V(k) platí přinejmenším pro $k = 1$ ,
jak dokázáno v kroku 1) a snažíme se dokázat, že potom platí i výrok V(k+1) .

Shrňme, co znamenají výroky V(k) , V(k+1)

V(k) : $L_k = P_k$ ,

V(k+1) : $L_{k+1} = P_{k+1}$ .

S důkazem V(k+1) budeme hotovi, když ukážeme, že $L_{k+1} - P_{k+1} = 0$ . K tomu se snažíme vyjádřit $L_{k+1}$ , $P_{k+1}$ pomocí $L_k$ , $P_k$
(na základě vztahů (D) ), abychom mohli použít předpoklad V(k).

kolejo · 29. 06. 2012 16:08

↑ vanok:
...na googlu jsem samozřejmě hledal. Zadával jsem sum of cubes a podobně. Toto tedy né a přiznám se, že nevím, který z odkazů by mi pomohl.
...na fóru jsem taky hledal (jistě, že vím, že "každý" problém už tu byl řešen (na fóru su často a taková odpověď je ještě častější) )

↑ Rumburak:

...děkuji, pošouplo mě to a doklepal jsem to k rovnosti, tedy V(k+1) platí, ještě jednou díky za pomoc.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!