Matematické Fórum

domini.001 · 09. 07. 2012 12:12

Ahoj, mohl byste mi prosím někdo poradit, jak určím z grafu, která funkce je vyšší a která nižší abych si mohla zapsat ten integrál? Děkuju

Cheop · 09. 07. 2012 12:14 — Editoval Cheop (09. 07. 2012 12:15)

↑ domini.001:
Nemohla bys sem místo toho dotazu napsat zadání úlohy,
kterou máš řešit?

domini.001 · 09. 07. 2012 12:23

↑ Cheop:
To bych mohla:)
Určete obsah plochy omezené parabolou $x^{2}-2x+1$ a rovinným pásem, který je určen přímkami $-x+7$ a $-x+13$ .

Nakreslila jsem si obrázek a vyšlo mi, že parabola by měla mít vrchol -1,0 a ty přímky do toho. Našla jsme si nulové body: -3,-2,0,3,4 a teď už mám problém a moc nevím jak dál. Díky

Rumburak

↑ domini.001:

Ahoj.

K matematice patří i věcná přesnost ve vyjadřování: $x^{2}-2x+1$ není parabola, ale kvadratický trojčlen. Parabolami jsou například
křivky o rovnicich $y=x^{2}-2x+1$ , $2y=x^{2}-2x+1$ , $-3y+7=x^{2}-2x+1$ a další - odtud je zřejmé,
že polynom $x^{2}-2x+1$ k jednoznačnému určení paraboly nestačí, prostě křivka v rovině bývá určena ROVNICÍ o dvou neznámých $x, y$
(nebo soustavou paramtrických rovnic $x=u(t), y = v(t)$ ). Pokud si to chci poněkud zjednodušit, mohu též říci např. "křivka, které je
grafem funkce $x^{2}-2x+1$ " , to by také bylo správně.

Nejde mi o nějakou prázdnou buzeraci, ale takováto chyba by na VŠ mohla vést i k fatálnímu výsledku zkoušky.

Navíc když si to napíši správně, tj. místo polynomů $x^{2}-2x+1$ , $-x+7$ , $-x+13$ napíši rovnice

$y = x^{2}-2x+1$ , $y= -x+7$ , $y=-x+13$

(předpokládám, že takové mělo být zadání), spíše mne napadne, co s tím mám udělat : řešit soustavy rovnic

(1) $y = x^{2}-2x+1$ , $y= -x+7$ ,

(2) $y = x^{2}-2x+1$ , $y=-x+13$

a tak určit průsečíky přímek s parabolou, jejichž souřadnice později použiji jako meze vhodných integrálů.

PS. Rovnice $x^{2}-2x+1 = 0$ má dvojnásobný kořen $x_{1,2} = 1$ a ne -1 .

domini.001 · 09. 07. 2012 13:52

↑ Rumburak:
Aha, no děkuji, ale to mi moc nepomohlo, jelikož jsem na zadání zkoušky měla přesně to co jsem psala výše, tedy i to s tou parabolou. Možná nám to pan profesor chtěl nějak usnadnit. Jinak k tomu řešení soustavy rovnic jsem přeci také došla. Dala jsem do rovnosti $y = x^{2}-2x+1$ s tímto $y= -x+7$ a kořeny mám: 3 a -2 a poté jsem dala do rovnosti $y = x^{2}-2x+1$ a $y=-x+13$ a vyšlo mi: 4 a -3 . Nicméně stále hlavně potřebuji vědět co doplním za ten integrační znak když obecně tam má být f(x)- g(x) , ale já nevím, která z těch dvou je vyšší.

Honzc · 09. 07. 2012 14:30

↑ domini.001:
výpočet jde provést více způsoby. Nejnázornšjší bude asi tento:
Interval $\langle-3,4\rangle$ rozdělíš na 3 intervaly
1. $\langle-3,-2\rangle$ a $f(x)=-x+13,g(x)= x^{2}-2x+1$
2. $\langle-2,3\rangle$ a $f(x)=-x+13,g(x)=-x+7$
3. $\langle3,4\rangle$ a $f(x)=-x+13,g(x)= x^{2}-2x+1$
Plocha pásu pak bude součet všech tří integrálů v daných mezích (intervalech)

domini.001 · 09. 07. 2012 14:38

↑ Honzc:
Jo děkuju moc:) Jen můžu s ezeptat proč si zvolil za f(x) vždy -x+13 ? to je protože by je jako nejvyšší z nich?

Rumburak

↑ domini.001:

domini.001 napsal(a):
↑ Rumburak:
...
Nicméně stále hlavně potřebuji vědět co doplním za ten integrační znak když obecně tam má být f(x)- g(x) , ale já nevím, která z těch dvou je vyšší.

Na to se dá přijít podrobnějším rozborem situace - dobrou pomůckou zde bývá náčrtek. Označme

$p$ parabolu o rovnici $y = x^{2}-2x+1$ ,

$m$ přímku o rovnici $y= -x+7$ ,

$n$ přímku o rovnici $y= -x+13$ .

Přímky $m$ , $n$ jsou zřejmě rovnoběžné (mají tutéž směrnici $k = -1$ ) a nejsou totožné, takže jejich společné body neexistují.
Přímku $n$ bychom získali z přímky $m$ jejím posunutím o vektor $(0, 6)$ , tedy o 6 jednotek nahoru ve směru osy $y$
(pokud osa $y$ je kladně orientována "nahoru", jak je obvyklé).

Průsečíky paraboly $p$ s přímkou $m$ jsou dva, a sice $M_1[-2, ?]$ , $M_2[3, ?]$ ,
průsečíky paraboly $p$ s přímkou $n$ jsou opět dva, a sice $N_1[-3, ?]$ , $N_2[4, ?]$
(y-ové souřadnice těchto bodů jistě není problém zjistit, ale nebudeme je nutně potřebovat).

Obrazec $P$ , jehož obsah počítáme, je ohraničen uzavřenou křívkou $N_1M_1M_2N_2N_1$ , kde

$N_1M_1$ je oblouk paraboly $p$ ,
$M_1M_2$ je úsečka na přímce $m$ ,
$M_2N_2$ je oblouk paraboly $p$ ,
$N_2N_1$ je úsečka na přímce $n$ .

Nyní je třeba uvažovat
přímku $a_1$ rovnoběžnou s osou $y$ a procházející bodem $M_1$ ,
přímku $a_2$ rovnoběžnou s osou $y$ a procházející bodem $M_2$ .
Tyto přímky rozdělí obrazec $P$ na 3 části , obsah každé počítáme zvlášť.

Jako vzor spočteme část nalevo od přímky $a_1$ . Její kolmý průmět na osu $x$ je interval $[-3, -2]$ ,
shora je ohraničena odpovídající částí přímky $n$ , zdola odpovídajícím obloukem paraboly $p$ , takže obsah této části bude

$\int_{-3}^{-2}\left((-x+13)-(x^{2}-2x+1)\right)\,\mathrm{d}x$ .

Obdobně ve zbývajících případech. (Doufám, že tam nemám nějakou početní chybu - poslední dobou se mi to stává).

EDIT. Kolega ↑ Honzc: vyjádřil totéž stručněji a rychleji, nicméně snad nebude na škodu, když zde svůj příspěvek přesto nechám,
a abych rozptýlil Tvoji poslední nejistotu, ještě dodám, že ve vzorci

$S = \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm{d}x$

pro výpočet obsahu obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích $y = f(x)$ , $y = g(x)$ nad intervalem $[a, b]$ se předpokládá,
že $f \ge g$ v tomto intervalu. Tato nerovnost platí, když obrazec je ohraničen příslušným obloukem grafu funkce f shora a
příslušným obloukem grafu funkce g zdola - snad je jasné, co je tím míněno.