Matematické Fórum

miso16211

Je dána přímka p : x -3y - 2 = 0 . Najdi přímku q, která prochází bodem Q[1;1], jejíž
odchylka od přímky p je 45° .

Ja som to takto riešil a nevychádza :

nájdem si smerový vektor s priamky p : $\vec{s}=(3,1)$ potom aj smerový vektor priamky q si zvolim tak, že si zvolim jednu súradnicu $\vec{v}=(1,v_{2})$ .

$cos 45 = \frac{|\vec{s}.\vec{v}|}{|\vec{s}|.|\vec{v}|}$ to v čitateli v zlomku je abs

$cos 45 =\frac{|3+v_{2}|}{\sqrt{10}.\sqrt{1+v_{2}}}$

$v_{2}^{2} + v_{2} +4 =0$

neviem prečo je to tak , prečo mi to nevychádza. Zrejme 1 si nemôžem zvoliť?

A môžem to aj tak riešiť?

ked som zvoli za v1 = 2 v2 mi vychádza 1 a -2,75

jelena · 12. 07. 2012 13:52

Zdravím, Mišo,

tu máš, myslím, překlep. Má být 2. mocnina nad $v_2$ v jmenovateli> $\cos $45^{\circ}$ =\frac{|3+v_{2}|}{\sqrt{10}.\sqrt{1+v_{2}^2}}$

Už v pořádku? Děkuji.

miso16211

ano skvele ja som vul až to bolí hodiny som na tom sedel, ale jedno nechápu
citujem :

Vybereme například takový, který má x-ovou souřadnici
rovnou jedné (pokud nejsou normálové vektory svislé
n = (0; k ) určitě je jeden z vektorů s x-ovou souřadnicí
rovnou jedné normálovým vektorem přímky p).

ale načo je nám dobre to, že nejaký vektor (1,b) ktorý je normalovym vektorom priamky q(pravdepodobne) je normalovym vektorom priamky p

7 priklad
z
http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%2 … %ADmek.pdf

Cheop · 12. 07. 2012 14:11 — Editoval Cheop (13. 07. 2012 09:34)

↑ miso16211:
1) Převeď si přímku p na směrnicový tvar (směrnice této přímky je tg úhlu, který svírá přímka s osou x)
2) Tuto přímku pootoč o úhel +- 45 stupňů. (tg tohoto bude tg (úhlu přímky +- úhlu 45 stupňů)
Řešením budou 2 přímky

Počítal bych to takto:
$x-3y-2=0\\y=\frac x3-\frac 23$
$k=\frac 13$
Pootočení o $\pm\,45^\circ$ $\text{tg}\,45^\circ=1$
Používám tento vzorec:
$\text{tg}(\alpha\pm\beta)=\frac{\text{tg}\alpha\pm\text{tg}\beta}{1-\text{tg}\alpha\cdot\text{tg}\beta}$

$k_q=\frac{\frac 13\pm\,1}{1-\frac 13\cdot\pm\,1}$
$k_{q_1}=\frac{\frac 13+1}{1-\frac13}=2$
$q_1:\,y=2x+c$ dosazením bodu $Q=(1,1)$ dopočítám c
$1=2+c\\c=-1$
$q_1:\,y=2x-1\\q_1:\,2x-y-1=0$

$k_{q_2}=\frac{\frac 13-1}{1+\frac13}=-\frac 12$
$q_2:\,y=-\frac x2+c$ dosazením bodu $Q=(1,1)$ dopočítám c
$1=-\frac12+c\\c=\frac 32$
$q_2:\,y=-\frac x2+\frac 32\\q_2:\,x+2y-3=0$

Hledané přímky:
$\color{blue}2x-y-1=0\\\color{red}x+2y-3=0$

Rumburak

Z rovnice $\cos 45^{\circ} = \frac{|\vec{s}.\vec{v}|}{|\vec{s}|\cdot|\vec{v}|}$ bys měl dostat $\cos 45^{\circ} =\frac{|3+v_{2}|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{1+v_2^2}}$ , tedy

$\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{|3+v_{2}|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{1+v_2^2}}$ ,
$4v_{2}^{2} -6v_{2} - 4 =0$ .

Volba $\vec{v}=(1,v_{2})$ je zde možná, tím si ušetříme jednu neznámou. Z obecného hlediska tím ale poněkud riskujeme : pro situaci, kdy výsledkem by měla
být (též) přímka rovnoběžná s osou y, je takový předpoklad nekorektní a k onomu výsledku bychom se touto cestou nedopracovali. Abychom ověřili, že jsme
se o tento teoreticky možný výsledek nepřipravili, měli bychom ještě zkusit, jak dopadne volba $\vec{v}=(0,v_{2}) , v_{2} \ne 0$ . Stejnou metodou jako výše
tak dostaneme rovnici

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{|v_{2}|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{v_2^2}}$ ,

odkud po vykrácení pravé strany výrazem $\sqrt{v_2^2} = |v_{2}|$ dostáváme $\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{10}}$ , což je spor, takže rovnice (1) nemá řešení, tudíž přímka rovnoběžná
s osou y naši úlohu neřeší.

Úlohu bychom mohli řešit i bez přechodu ke směrovým vektorům - pracovat s normálovými vektory přímek. Normálové vektory přímek spolu svírají tytéž
úhly jako ony přímky.

miso16211 · 12. 07. 2012 18:20

↑ Cheop: dekuji vypočítam smernicu k priamku q tak, že pootočim priamky p o +- 45 ° a vypočítam k a pak iba dosadim bod DEKUJI!

↑ Rumburak:

ano mne to nechcelo vyjsť lebo som robil zle chyby, ale overeňí s vektorem(0,v2) mne nenapadlo

Dekuji obom.

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2012 12:54 — Editoval miso16211 (12. 07. 2012 13:00)

Odhyclka normalovy ci smerový vektor

#2 12. 07. 2012 13:52

Re: Odhyclka normalovy ci smerový vektor

#3 12. 07. 2012 14:08 — Editoval miso16211 (12. 07. 2012 14:10)

Re: Odhyclka normalovy ci smerový vektor

#4 12. 07. 2012 14:11 — Editoval Cheop (13. 07. 2012 09:34)

Re: Odhyclka normalovy ci smerový vektor

#5 12. 07. 2012 14:41 — Editoval Rumburak (12. 07. 2012 14:48)

Re: Odhyclka normalovy ci smerový vektor

#6 12. 07. 2012 18:20

Re: Odhyclka normalovy ci smerový vektor

Zápatí