Matematické Fórum

damates · 13. 07. 2012 10:47

Zdravím,

chtěl bych požádat o pomoc při řešení příkladu se zadáním: Načrtněte liché periodické rozšíření funkce $f(x) = x^2, x \in (0,\pi /2)$ a graf příslušného Fourierova rozvoje s periodou $\pi$ .

Při tomhle zadání si nevím vůbec rady, jak to mám počítat nebo namalovat, tak jestli by mi někdo nepomohl s postupem jak tento příklad vyřešit.

Děkuji předem za pomoc.

Rumburak

Zdravím též.

Máme dánu funkci $f(x) = x^2, x \in (0,\pi /2)$ a hledaná funkce $F$ má být jejím lichým rozšířením a zároveň periodickým rozšířením
s periodou $\pi$ . To v teorii FŘ znamaná, že funkce $F$ má být definovaná v $\mathbb{R}$ a splňovat podmínky

(1) $\forall x \in \mathbb{R} : F(-x) = -F(x)$ (lichost funkce) ,

(2) $\forall x \in \mathbb{R} : F(x+\pi) = F(x)$ ( $\pi$ -periodicita funkce) ,

(3) $\forall x \in (0, \pi/2) : F(x) = f(x)$ ( $F$ je rozšířením funkce $f$ ) .

Nyní navigační otázka: Čemu bude rovno $F(x)$ pro $x \in (-\pi/2, 0)$ ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

damates

↑ Rumburak:

teď možná budu střílet ale myslím si že $F(x) = 1$

správně tedy $F(x) = -x^2$

Rumburak · 13. 07. 2012 11:57

↑ damates:

Vystřelil jsi přesně :-), tedy $F(x) = x^2 \,\mathrm{sgn}\,x , x \in (-\pi/2, \pi/2)$ (v 0 jsme funkci spojitě dodefinovali hodnotou 0).

Máme tedy lichou a hladkou funkci definovanou na intervalu délky $\pi$ , jehož středem je bod 0 . Teorie FŘ praví, že chceme-li takovou funkci
periodicky rozšířit do $\mathbb{R}$ tak, aby měla perioru $\pi$ a zůstala i nadále lichou funkcí, můžeme k tomu vzít její Fourierův rozvoj v systému
$( \sin nx , n = 1, 2, 3, ... )$ , který je úplným ortogonálním systémem na uvedeném intervalu. Jistá věta pak říká, jaké hodnoty
budou v bodech $-\pi/2, \pi/2$ a jejich lichých násobcích.

Rumburak · 13. 07. 2012 11:59

↑ damates:

Dobře byla PŮVODNÍ verse $F(x) = -x^2$ .

damates · 13. 07. 2012 12:11

↑ Rumburak:

Tak když to vezmu hodně jako lajk. Tak se dá říct že jsme pro lichou funkci přidali k zadané funkci $f(x) = x^2$ funci sgn x a tím jsme dostali danou funkci s tím že jsme jí dodefinovali na intervalu $x \in (-\pi /2 , \pi /2)$ ?

Rumburak · 13. 07. 2012 13:46

↑ damates:
Podrobněji řečeno:

Funkce $f(x) := x^2, x \in (0,\pi /2)$ není lichá (ani sudá) - již proto ne, že její definiční obor $D(f) = (0,\pi /2)$ NEsplňuje podmínku

$\forall x : ( x\in D(f) \Rightarrow -x \in D(f))$ .

Předis $g(x) := x^2, x \in (-\pi /2, \pi /2)$ dává sudou funkci, protože jsou splněny podmínky

(1) $\forall x : ( x\in D(g) \Rightarrow -x \in D(g))$ ,

(2) $\forall x : ( x\in D(g) \Rightarrow g(-x) = g(x))$

(podmínku (1) netřeba ani explicite uvádět, protože je implicite zahrnuta v podmínce (2) ) .

Vynásobením sudé funkce $g$ lichou funkcí $\mathrm{sgn}$ (signum) dostaneme lichou funkci.