Matematické Fórum

miso16211

Su dané body A $A[6.\sqrt{3},0]$ $B[0,2.\sqrt{3}]$ Ur+cte suradnice bodu C, aby trouholník ABC bol rovnostranný.

Moje riešenie

$\overrightarrow{BC} =(\sqrt{108},y)$ (dal som že BC vektor bude mat prvu suradnicu)
$\overrightarrow{BA} =(\sqrt{108},-\sqrt{12})$
$cos60 =\frac{108-\sqrt{12.y}}{\sqrt{120}.\sqrt{108+y^{2}}}$
$0,5.\sqrt{120}.\sqrt{108 + y^{2}}= 108 - \sqrt{12}.y \text{ cele na druhu}$
$3240 + 30y^{2}=8424 -216\sqrt{12}.y+12y^{2}$
0 = -468 $0 = y^{2}+\sqrt{1728} -468$

a nevychádza mi to.

vysledok je $C_{1,2}[\pm 3+3.\sqrt{3},\pm 9+\sqrt{3}]$

neviem ako inak to pocitat a zeby to nebola zlozita rovnica

Cheop · 13. 07. 2012 12:52

↑ miso16211:
Co to vyřešit takto:
Protože se jedná o rovnostranný trojúhelník jsou všechny strany stejně dlouhé.
$|AB|=\sqrt{120}$
Bod C bude průsečíkem kružnic:
$(x-6\sqrt3)^2+y^2=120\\x^2+(y-2\sqrt 3)^2=120$

miso16211 · 13. 07. 2012 13:04

bez kružnic musim, kružnice ešte neovladam

zdenek1

↑ miso16211:
Bod C musí ležet na kružnici se středem A a poloměrem AB
a současně na kružnici se středem B a poloměrem AB
$|AB|=\sqrt{120}$
$k_1:(x-6\sqrt3)^2+y^2=120$
$k_2:x^2+(y-2\sqrt3)^2=120$
porovnáním
$(x-6\sqrt3)^2+y^2=x^2+(y-2\sqrt3)^2$
dostaneš
$y=3x-8\sqrt3$
a nyní dosazením do $k_1$
$(x-6\sqrt3)^2+(3x-8\sqrt3)^2=120$
a po úpravě
$x^2-6\sqrt3x+18=0$

edit: toto nečti

zdenek1 · 13. 07. 2012 13:32

Když bude mít bod $C$ souřadnice $C[x;y]$ , jsou vektory
$\overrightarrow{BC}=(x;y-2\sqrt3)$
$\overrightarrow{BA}=(6\sqrt3;-2\sqrt3)$
pak
$\cos 60^\circ=\frac{6\sqrt3x-2\sqrt3y+12}{|BC|\cdot|BA|}$
Ale $|BC|=|BA|=\sqrt{120}$
takže
$\frac12=\frac{6\sqrt3x-2\sqrt3y+12}{120}\ \Rightarrow \ y=3x-8\sqrt3$
$|BC|^2=x^2+(y-2\sqrt3)^2=120$
a dosadíš za $y$

Cheop · 13. 07. 2012 14:45

↑ miso16211:
Dá se to velmi složitě řešit i takto (bez použití kružnic)

Hledaný bod C bude průsečík přímek, které jsou pootočeny oproti přímce AB
o $\pm\,60^\circ$ procházející body A resp. B
Bod C bude průsečík přímek:
$(5\sqrt 3-6)x-3y+6\sqrt 3=0\\(5\sqrt 3+6)x+3y-90-36\sqrt 3=0$
nebo:
$(5\sqrt 3-6)x-3y-90+36\sqrt 3=0\\(5\sqrt 3+6)x+3y-6\sqrt 3=0$
Obrázek:

Rumburak

A co takhle jít na to přímo přes vzdálenost bodů ? Sestavíme rovnice $|AX| = |AB|$ , $|BX| = |AB|$ , z nich použitím
definice vzdálenosti dvou bodů dostaneme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých $x, y$ (což jsou souřadnice neznámého
třetího vrcholu $X$ ) .

Je to de facto totéž řešení jako přes kružnice - viz ↑ Cheop: - s tím, že rovnice kružnic použiji, aniž bych musel věděl, že jde
o rovnice kružnic.

miso16211 · 13. 07. 2012 18:03

dekuji všem snad z toho vyjdem

Cheop · 13. 07. 2012 18:57

↑ Rumburak:
Zdravím:-)
Ano toto řešení by mohlo být nejjednodušší

Matematické Fórum

#1 13. 07. 2012 12:19 — Editoval miso16211 (13. 07. 2012 12:24)

Analyza

#2 13. 07. 2012 12:52

Re: Analyza

#3 13. 07. 2012 13:04

Re: Analyza

#4 13. 07. 2012 13:07 — Editoval zdenek1 (13. 07. 2012 13:33)

Re: Analyza

#5 13. 07. 2012 13:32

Re: Analyza

#6 13. 07. 2012 14:45

Re: Analyza

#7 13. 07. 2012 15:45 — Editoval Rumburak (13. 07. 2012 15:55)

Re: Analyza

#8 13. 07. 2012 18:03

Re: Analyza

#9 13. 07. 2012 18:57

Re: Analyza

Zápatí