Matematické Fórum

Mr.Pinker · 13. 07. 2012 23:47

Řešil sem takový to problém jak odvodit vzorec pro součet prvních n druhých respektive třetích respektive obecných mocnin přirozených čísel ale pořád se nemohu dobádat jestli je nějak jde odvodit. Tak bych chtěl požádat o menší popíchnutí

vanok · 14. 07. 2012 00:43

Je na to viacej metod.
Napriklad na vypocet $S_n=1^2+ 2^2+... +n^2$
mozes vyzit tento vzorec

$(a + 1)^3 - a^3= 3a^2 + 3a + 1$

Ktory ti da
pre $a=1$ : $2^3-1^3= 3\cdot 1^2 + 3\cdot 1 + 1$
pre $a=2$ : $3^3-2^3= 3\cdot 2^2 + 3\cdot 2 + 1$
...
pre $a=n$ : $(n+1)^3-n^3= 3\cdot n^2 + 3\cdot n + 1$
Co ti da po scitani vsetkych riadkov
$(n + 1)^3 - 1^3=3 \cdot ( 1^2+ 2^2+... +n^2) +3 \cdot (1+2+ ...+n) + n \cdot 1$

Skus to nejako dokoncit.

Poznamka: aj na fore najdes o tejto teme dost vela prispevkov.

Mozes si pozriet aj toto
http://en.wikipedia.org/wiki/Summation

user · 14. 07. 2012 02:50

Další možností je počítat to pomocí rekurence. Vyjádřit si rozdíl $S_{n+1}-S_n$ a pomocí řešení diferenční rovnice nalézt vzorec pro n-tý člen. Takto se dá dokonce odvodit vzorec pro $\sum_{}^{}\frac{n^k}{\alpha ^{n}}; n,k\in \mathbb{N};\alpha \in \mathbb{R}$ . A myslím si, že by to mohlo jít zobecnit i na komplexní $\alpha$ .

Matematické Fórum

#1 13. 07. 2012 23:47

součet řady

#2 14. 07. 2012 00:43

Re: součet řady

#3 14. 07. 2012 02:50

Re: součet řady

Zápatí