Matematické Fórum

Aquabellla · 15. 07. 2012 16:13

Zdravím, snažím se pomoct kamarádce ke zkoušce, ale po těch dvou měsících bez školy jsem některé věci už zapomněla a už nevím, jak dál.

Uvažujeme zobrazení $F$ mezi metrickým prostorem $C[0,1]$ spojitých funkcí na intervalu $[0,1]$ se stejnoměrnou metrikou $\rho_{\infty}$ a metrickým prostorem $\mathbb{E}^1$ , které je pro $f \in C[0,1]$ zadáno vzorcem $F(f) = \int_0^1 f(x) dx$ . Rozhodněte a řádně zdůvodněte, jestli je toto zobrazení $F$ spojité na $C[0,1]$ . Dále rozhodněte, jestli je zobrazení $F$ lipschitzovské a s jakou konstantou, případně jestli je $F$ kontrakce.

Vím, že zobrazení F je spojité na $C[0,1]$ , pokud je zobrazení spojité v každém bodě $f \in C[0,1]$ . Což podle mě platí, protože se jedná o metrický prostor spojitých funkcí.

Lipschitzovské zobrazení: $\exists L \ge 0$ taková, že $\sigma (F(x),F(y)) \le L \cdot \rho (x,y)$ , $\forall x, y \in C[0,1]$ .
Kontrakce je lipschitzovské zobrazení s konstantou $L < 1$ .

Prosím, jak toto určit? Předem děkuji za každou radu.

vanok · 15. 07. 2012 19:12

Ahoj ↑ Aquabellla:,
Tu spojitost treba dokazat, lebo ide o linearny functional na priestore nekonecnej dimenzie.
Uz dlho som sa o taketo problemy nezaujimal, ale ak mi nie napadne, napisem ti.

Stýv · 15. 07. 2012 20:25

já bych na to šel z definice

Rumburak

↑ Aquabellla:
Ahoj. Můžeš, prosím, doplnit definici metriky $\rho_{\infty}$ , jde-li o jinou metriku, než je standardní "maximová" ?

Pokud by šlo o standardní metriku $\rho(f,g) := \max_{x\in\langle 0, 1 \rangle}|f(x)-g(x)|$ v $C\langle 0, 1 \rangle$ , pak máme

$|F(f) - F(g)| = \left|\int_0^1 $f(x)-g(x)$\, \mathrm{d}x \right| \le \int_0^1 \left|f(x)-g(x)\right|\, \mathrm{d}x \le \int_0^1 \rho(f,g)\, \mathrm{d}x =\rho(f,g) \int_0^1 \mathrm{d}x =\rho(f,g)$

a odtud snadno najdeme odpovědi na položené otázky. Že nejde o kontrakci, dokážeme příkladem.

EDIT. Ještě dodám, že zobrazení definované na metrickém prostoru spojitých funkcí nemusí být spojité.
Příklad: Pro $f \in C\langle 0, 1 \rangle$ položme

$G(f) := 0$ , je-li $f(x) \equiv 0$ , v ostatních případech $G(f) := $\int_0^1|f(x)|\,\mathrm{d}x$^{-1}$ .

Je zřejmé, že funkcionál $G$ není spojitý v "bodě" $f(x) \equiv 0$ .

Matematické Fórum

#1 15. 07. 2012 16:13

Metrické prostory - spojité zobrazení

#2 15. 07. 2012 19:12

Re: Metrické prostory - spojité zobrazení

#3 15. 07. 2012 20:25

Re: Metrické prostory - spojité zobrazení

#4 16. 07. 2012 09:59 — Editoval Rumburak (17. 07. 2012 16:10)

Re: Metrické prostory - spojité zobrazení

Zápatí