Matematické Fórum

KDPK · 17. 07. 2012 17:12

Ahoj,

chtěla bych poprosit o radu ve věci posloupností:

Je dána nekonečná geometrická řada. Urči první člen a kvocient. Je-li konvergentní, urči její součet.

$\sqrt{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+...$

Došla jsem k řešení:

$a_1=\sqrt{2}$
$q=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$s=2+2{\sqrt{2}}$

Ve výsledcích je uvedeno alternativní řešení:

$a_1=1+{\sqrt{2}}$
$q=\frac{1}{2}$

Nemám tušení, jakým postupem se k druhému výsledku dostat...
Díky za pošťouchnutí...

K.

halogan · 17. 07. 2012 17:22

$\sqrt{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+... = \left(\sqrt{2}+1\right)+\frac{\sqrt{2} + 1}{2} +...$

je to lépe vidět?

KDPK · 17. 07. 2012 17:33

↑ halogan:

Ahoj,

díky velice za odpověď! Ještě jsem se s tím nesetkala..

Čistě teoreticky:
Mohl by tedy člen a_1 vypadat i takto?
$a_1=\sqrt{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

S tím, že by se kvocient opět změnil a zbytek uvedené řady ze zadání by seděl...

Díky, K.

KDPK · 17. 07. 2012 17:41

↑ halogan:

Ahoj,

formulovala jsem to asi hodně "šroubovaně".

Jde mi o to, jak zjistím, kolik je variant pro člen a_1?
Natvrdo zkouším sečíst sousední členy, dopočítat kvocient a když sedí s a_2, tak je to přípustné?

Pokud by tedy teoreticky příklad vycházel pro a_1, které by bylo sčítancem 3 členů z posloupnosti, tak je to ok?

Snad je to srozumitelné...

Díky moc, K.

Bati · 17. 07. 2012 18:09 — Editoval Bati (17. 07. 2012 18:11)

Ahoj,
příklad mi osobně přijde spíše jako taková matematická hříčka, než aby se na něj dalo nahlížet takto teoreticky. Nikde ani není psáno, že členy řady musí být v zadání oddělené plusem a v důsledku potom samozřejmě můžeme volit první člen libovolně, to nám dá druhý člen a zbývá jen dopočítat kvocient.
Tyhle nejednoznačnosti, na kterých vlastně stojí celý tento příklad, plynou ze zápisu řady pomocí tří teček. Ten se používá, pokud je z předchozích členů vidět princip, jakým jsou tvořeny další členy posloupnosti. Nicméně teoreticky může existovat někdo (a v matematice bychom vždy měli předpokládat, že někdo takový je), kdo v zadání hned uvidí řadu s prvním členem $\sqrt{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Každopádně 2 uvedená řešení jsou ta "člověku do očí bijící".

KDPK · 17. 07. 2012 19:35

↑ Bati:

Ahoj,

moc Ti díky za věcný komentář!
K.

Matematické Fórum

#1 17. 07. 2012 17:12

Nekonečná geometrická řada

#2 17. 07. 2012 17:22

Re: Nekonečná geometrická řada

#3 17. 07. 2012 17:33

Re: Nekonečná geometrická řada

#4 17. 07. 2012 17:41

Re: Nekonečná geometrická řada

#5 17. 07. 2012 18:09 — Editoval Bati (17. 07. 2012 18:11)

Re: Nekonečná geometrická řada

#6 17. 07. 2012 19:35

Re: Nekonečná geometrická řada

Zápatí