Matematické Fórum

Ahoj,
zamýšlím se tu nad tzv. Piccardovou větou - viz česky (str. 8) nebo anglicky. (Držme se označení v českém textu - zkoumáme rovnici y'=f(x,y).)A nyní o co jde - přestavme si, že na daném okolí I bodu x0 splňuje f předpoklady věty. Tedy existuje okolí J bodu x0 takové, že , že na J je řešení y této diferenciální rovnice rovnice jednoznačné. Ovšem dle mého by již řešení mělo být - pokud existuje - jednoznačné na celém I. Tedy dle mého není nutné "zmenšovat" interval, na kterém je zaručena jednoznačnost, oproti intervalu, na kterém je zaručena existence. Důvod, proč si to myslím:

Onačme M:={x; x>x0, x je v I, na <x0;x> neexistuje jednoznačné řešení y}. Položme x1:=sup(M). Je-i M prázdná, pak je řešení jednoznačné na celém I. Není-li M prázdná, je zřejmě x1>x0 a . (Body x0,x1 tak prochází dvě různá řešení ya,yb této rovnice.) Aplikujeme nyní na f a bod x1,f(x1) tvrzení Piccardovy věty, na dostatečně malém okolí x1 je toto řešení (označme ho yc) jednoznačné. Ovšem na dostatečně malém okolí x1 se toto řešení musí shodovat (díky jednoznačnosti yc) jak z ya, tak z yb, což je spor (ya a yb jsou na každém okolí x1 různá).
(Analogicky lze postupovat pro x<x0.)

Vidíte prosím v této úvaze zádrhel? Nejspíš tam být musí, jinak by se v Piccardově větě uváděla formulace "... každé řešení je již jednoznačné". Díky za reakce.