Matematické Fórum

miso16211

Zdravím

Ako treba postupovať pri určovaní hyperbol(upraviť na tvar $y=\frac{k}{x}$ to neviem)?

Načrtni hyperbolu a urč a,b, e, hlavne vrcholy, S, ohniska a asymptoty.

$4x^{2} - 36 = 9y^{2}$

A[3,0]
B[-3,0]

S[0,0]

a ďalej neviem, potrebujem nakopnúť len , .

ďakujem.

PS.: Skúšal som F[x,0] a vzdialenost AF a BF sa musia rovnat, no nevychádza mi to, zrejme treba dva body aby nemali y suradnice 0 a tak zistit.

Zrejme pretvoriť na stredovy tvar a stamadial ziskať b - mame e a tiez asymptoty. Ale to s tym stredovym tvarom este som neprebral a realisticky to uz dava?

tu to je
http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%2 … erbola.pdf

Cheop · 30. 07. 2012 13:23 — Editoval Cheop (30. 07. 2012 13:27)

↑ miso16211:
$4x^{2} - 36 = 9y^{2}$
Převedeme na středový tvar:
$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
$a=3\\b=2$
$e=\sqrt{a^2+b^2}$
Rovnice asymptot:
$y=\pm\frac ba\cdot x$

Rumburak

Ahoj. Na SŠ se probírají hyperboly ve dvou základních polohách:

I. Jech OSY jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami - tyto hyperboly mají rovnice upravitelné do tvarů

(I.1) $\left(\frac{x-m}{a}\right)^2- \left(\frac{y-n}{b}\right)^2 = 1$

nebo

(I.2) $\left(\frac{x-m}{a}\right)^2- \left(\frac{y-n}{b}\right)^2 = -1$ .

Případy (I.1) , (I.2) mají leccos společného: $S=[m, n]$ je střed hyperboly (společný průsečík os a asymptot), $e=\sqrt{a^2 + b^2}$ je excentricita,
poloosa délky $a$ je rovnoběžná se souř. osou $x$ , poloosa délky $b$ je rovnoběžná se souř. osou $y$ , asymptotami jsou přímky o rovnicích

(a) $\frac{x-m}{a}- \frac{y-n}{b} = 0$ , $\frac{x-m}{a} + \frac{y-n}{b} = 0$

(obě rovnice (a) můžeme shrnout do jediné rovnice $\left(\frac{x-m}{a}\right)^2- \left(\frac{y-n}{b}\right)^2 = 0$ ).

Případy (I.1) , (I.2) se liší tím, že zatímco v případě (I.1) je hlavní osou ta, co je rovnoběžná se souř. osou $x$ , v případě (I.2) je hlavní osou ta, co je
rovnoběžná s osou $y$ . Hlavní osa je ta, na níž leží ohniska a vrcholy (ty má h. jen 2). Vzdálenost vrcholu od středu je rovna délce hlavní poloosy,
vzdálenost ohniska od středu je rovna excentricitě.

II. Jejich ASYMPTOTY jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami - tyto hyperboly mají rovnice upravitelné do tvaru $(x-m)(y-n) = k$ ,
kde $k \ne 0$ , a jsou vždy rovnoosé - tj. hlavní i vedlejší polosa mají stejnou délku, a sice $\sqrt{2|k|}$ . Střed je $S=[m, n]$ , osy jsou rovnoběžné
s osami kvadrantů: pro $k > 0$ je hlavní osa rovnoběžná s osou I. a III. kvadrantu, pro $k < 0$ s osou II. a IV. kvadrantu.

vanok · 30. 07. 2012 14:25 — Editoval vanok (30. 07. 2012 14:35)

Pozdravy ↑ miso16211: ako aj kolegom↑ Cheop:, ↑ Rumburak:
Pridavam male prakticke poznamky.
Hyperbola ktora ma osy symetrieosy X'OX; Y'OY sa da napisat v tvare
$\frac {X^2}{a^2}-\frac {Y^2}{b^2}=1$ ( a, b realne >0)
kde $S_1(0,-a);S_2(0,A)$ su prieseciky z osou X (a volaju sa jej vrcholy ).

Rovnica hyperboly sa da napisat aj vo forme
$Y=\pm \frac ba \sqrt {X^2- a^2}$
A v tejto forme najdeme lahko jej asymptoty ( ako pre kazdu inu funkciu ):
$Y= \pm \frac ba X$

Je jednoduche ukazat ze asymptoty su kolme navzajom len a len vtedy $a=b$ .
V tom pripade mozes trasformovat ( vhodnych suradniciach) rovnicu hyperboly na tento tvar $y=\frac{k}{x}$ ( o ktorom pises v tvojom prispevku)
Geometricky, ide o rotaciu 45°... ( ak treba podrobnosti napis).

Co sa tyka ohniskiek ( stale v suradniciach $(X,Y)$
mame $F_1(0,-c); F(0,c)$ kde $c=\sqrt{a^2+b^2}$ .(dokaz je jednoduchy ak pouzijes ohniskovu definiciu hyperboly)

miso16211

↑ Rumburak: problem je v tom, že realisticky dál príklady v petakovej na stredovy tvar, ale v pdf to ešte neprobral. Už som si naštudoval ďalšie pdf - ko takže už to viem.

Keď je hyperbola rovnoosa. t.j. v tvare $y = \frac{k}{x}$ tak a je co? $\sqrt{2|k|}$ ?

Ako na to prísť?

Keď mam napr. $y=\frac{5}{x}$

a=b

k=5

teda máme pravoúhly trouholník a ešte aj rovnoramenný s preponou 5.

tak b = $a = \frac{5}{\sqrt{2}}$ preco $\sqrt{2|k|}$ ?

↑ vanok:

ako môžeme pootočiť hyperbolu o 45 °bez toho, aby sa ohniská, vrcholy nezmenili? Napíšeme že ohniska pri pootočenej hyperbole o 45°(alebo - 45°) sú toľko a toľko?

Rumburak

↑ miso16211:

Když $y = \frac{k}{x}$ (střed hyperboly je $S = [0, 0]$ ) a předpokládáme-li např., že $k > 0$ , potom vrcholy budou ležet na přímce o rovnici $y=x$ ,
která je pro tuto hyp. hlavní osou. Budou to tedy body o souřadnicích $[x, x]$ , kde $x = \frac{k}{x}$ , takže $x = x_{1,2} = \pm \sqrt{k}$ . Jedním z vrcholů
hyperboly je tedy bod $A_1 = [\,\sqrt{k} , \sqrt{k}\,]$ , jehož vzdálenost od středu $S = [0, 0]$ (což je délka hlavní poloosy) je $\sqrt{2k}$ .

vanok · 30. 07. 2012 17:05

↑ miso16211:,
Hyperbola sa nemeni, to sa len menia suradnice.
V tej symetrickej forme su na osy X....
Po otoceni budu na priamke rovnici x=y
Pozor : treba a= b... Inac to nie je mozne.

Rumburak

↑ miso16211:
Ještě se podívejme podrobněji na to otočení. Mějme hyperbolu $h : xy = k , k \ne 0$ a hledejme hyperbolu $h_0$ , jejímž otočením o $45^{\circ}$
okolo počátku (toto zobrazení označme $F$ ) bychom dostali hyprbolu $h$ . Takže chceme, aby platil výrok

(1) $X\in h_0 \Leftrightarrow F(X) \in h$ .

Důležitým krokem nyní bude analyticky vyjádřit ono otočení $F$ (prozatím ho máme vyjádřeno jen geometricky). Obecný bod $X=[x, y]$ roviny,
v níž pracujeme, můžeme vyjádřit va tvaru komplexního čísla $x + y\,\mathrm{i}$ , jehož otočením okolo počátku o úhel $\alpha$ dostaneme (viz též věta o součinu dvou
kompl. čísel v goniometrickém tvaru) komplexní číslo

$(x + y\,\mathrm{i})(\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha) = (x \cos \alpha - y \sin \alpha ) + (x \sin \alpha +y \cos \alpha )\,\mathrm{i}$

odpovídající v jazyce analytické geometrie bodu $[x \cos \alpha - y \sin \alpha , x \sin \alpha +y \cos \alpha]$ . Zobrazení $F_{\alpha}$ , které je otočením okolo počátku
o úhel $\alpha$ , má tedy analytické vyjádření

$F_{\alpha}([x, y]) = [x \cos \alpha - y \sin \alpha , x \sin \alpha +y \cos \alpha]$ .

Volbou $\alpha = 45^{\circ}$ a uvážíme-li, že $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac {1}{\sqrt{2}}$ , dostáváme

$F([x, y]) = \[\frac {x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\]$ .

Aby bod $[x', y'] := F([x, y])$ ležel na hyperbole $h$ , musí jeho souřadnice $x' = \frac {x-y}{\sqrt{2}}, y' = \frac {x+y}{\sqrt{2}}$ vyhovovat její rovnici,
tj. musí platit $\frac {x-y}{\sqrt{2}}\cdot \frac{x+y}{\sqrt{2}} = k$ . Tuto rovnici snadno upravíme do tvaru

$\left(\frac{x}{\sqrt{2|k|}}\right)^2 - \left(\frac{y}{\sqrt{2|k|}}\right)^2 = \frac {k}{|k|}$ ,

což je hledaná rovnice hyperboly $h_0$ (pravá strana rovnice je rovna 1 nebo -1 podle znaménka čísla $k$ ). Odtud jsou patrné i velikosti poloos.
Která z nich je hlavní, závisí na znaménku pravé strany rovnice, jak již bylo řečeno dříve.

miso16211 · 31. 07. 2012 11:06

↑ Rumburak: tam ešte ne som. sorry trochu moc na mne, i tak dekuji za snahu

vanok · 31. 07. 2012 13:05

↑ Rumburak:,
Pozdravujem,
Pripomeniem este kolegovy ↑ miso16211:, ze to otocenie, ( rotacia )
sa da robit aj vdaka maticam...( i ked to nic nemeni na veci, ale) niektore knihy to casto tak robia. No, asi, moze kludne pockat na cvicenia na vysokej skole, kde to iste prehlbia.

Matematické Fórum

#1 30. 07. 2012 12:29 — Editoval miso16211 (30. 07. 2012 12:42)

Hyperbola

#2 30. 07. 2012 13:23 — Editoval Cheop (30. 07. 2012 13:27)

Re: Hyperbola

#3 30. 07. 2012 13:50 — Editoval Rumburak (30. 07. 2012 13:58)

Re: Hyperbola

#4 30. 07. 2012 14:25 — Editoval vanok (30. 07. 2012 14:35)

Re: Hyperbola

#5 30. 07. 2012 14:34 — Editoval miso16211 (30. 07. 2012 15:30)

Re: Hyperbola

#6 30. 07. 2012 15:35 — Editoval Rumburak (30. 07. 2012 15:36)

Re: Hyperbola

#7 30. 07. 2012 17:05

Re: Hyperbola

#8 31. 07. 2012 10:22 — Editoval Rumburak (31. 07. 2012 11:08)

Re: Hyperbola

#9 31. 07. 2012 11:06

Re: Hyperbola

#10 31. 07. 2012 13:05

Re: Hyperbola

Zápatí