Matematické Fórum

miso16211

Ak mám dané 2 body(nie su na priamke rovnobežnej s osami) a stred (a osy hyperboly sú rovnobežné s osami súradnic) ako mám zistiť či hyperbola bude v tvare

$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}} = 1$

alebo

$-\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}} = 1$ ?

Alebo si mam vytvoriť dva dvojice rovníc o dvoch neznamych?

Rumburak

Zkus např. pracovat s rovnicí

(1) $\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}} = \varepsilon$ ,

kde o parametru $\varepsilon$ budeš předpokládat, že nabývá pouze hodnot $\pm 1$ . Pokud znáš střed [m, n], pak postupným dosazením těch dvou bodů
hyperboly do její rovnice (1) dostaneš pro každou předpokládanou hodnotu parametru $\varepsilon$ jednu soustavu dvou rovnic o naznámých $a, b$ .
Je to vlastně jen technicky rozpracovaná Tvá druhá varianta uvažovat ony obě soustavy.

vanok · 31. 07. 2012 13:09

Poznamka:
Je jasne ze z jednej formy na druhu sa da dostat zmenou suradnic
x>>>> y
y>>> x

Preto vo vela vykladoch na tuto temu sa hovori len o forme $\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}} = 1$

miso16211 · 31. 07. 2012 15:13

↑ Rumburak:

budem mat dvew rovnice o dvoch neznámych

..... - ........ = $\pm$ 1

Ale to by som musel umocnit, alebo jak pracovat s čísle $\pm 1$ ? Dostanem zase dve sustavy, nie jednu.

vanok · 31. 07. 2012 15:27

↑ miso16211:,
Este jedna kulturna poznamka
http://en.wikipedia.org/wiki/Five_point … ne_a_conic
Zaujimave, ze!

Rumburak

↑ miso16211:

Posílám pozdravy kolegovi ↑ vanok: . :-)

Ty body patřící hyperbole ani její střed nejsou zde zatím zadány konkretně, takže mohu dát jen obecně formulovanou radu:

Zavedl bych nové neznámé

(2) $u = \frac{1}{a^2}$ , $v = \frac{1}{b^2}$ .

Tak dostaneme z (1) rovnici

$(x-m)^{2}u - (y-n)^{2}v = \varepsilon$

závislou na parametru $\varepsilon \in \{1, -1\}$ . Do ní dosadíme za m,n souřadnice středu hyperboly a pak za x, y postupně souřadnice těch dvou bodů
$X_i[x_i, y_i] (i = 1, 2)$ , které na ni leží. Tak vznikne soustava

$(x_1-m)^{2}u - (y_1-n)^{2}v = \varepsilon$ ,
$(x_2-m)^{2}u - (y_2-n)^{2}v = \varepsilon$

dvou LINEÁRNÍCH rovnic o dvou neznámých $u, v$ . Tu umíme vyřešit, aniž bychom se starali o hodnotu $\varepsilon$ , a získáme tak (je-li úloha správně zadána)
nějaké její řešení $u = u(\varepsilon)$ , $v = v(\varepsilon)$ . Až nyní dosazujeme za $\varepsilon$ a akceptujeme pouze situace, kdy $u(\varepsilon)>0 \,\wedge \,v(\varepsilon)>0$ ,
abychom z (2) mohli vypočítat čísla (rovněž kladná) $a, b$ .