Matematické Fórum

brodzko · 31. 07. 2012 23:01

Zdravíčko, vlastne potrebujem len skontrolovať. Dostal som za úlohu dokázať, že číslo log (2) je iracionálne číslo. Postupoval som takto:

-predpoklajme opak, teda že číslo log (2) možno zapísať v tvare p/q

$\log_{} 2 = \frac{p}{q}$ ; $p \in Z; q \in N$
potom
$2 = 10^{\frac{p}{q}} = 2^{\frac{p}{q}}.5^{\frac{p}{q}}$
a odtiaľ
$2^{q - p} = 5^{p}$

čo považujem za spor, pretože ľubovoľná celočíselná mocnina 2 je párne číslo a ľubovoľná celočíselná mocnina 5 je nepárne číslo. Čo sa chcem spýtať je, či je tento môj záver správny a možno tak považovať tvrdenie za dokázané.

Vďaka :)

Pavel Brožek · 31. 07. 2012 23:29

↑ brodzko:

Ahoj, třeba -7. mocnina dvojky není sudé číslo ;-).

brodzko · 31. 07. 2012 23:42

Ako by si teda taký dôkaz spravil ty? (Nie som si teraz istý, ale 1/128 je podľa mňa číslo párne - vlastne vôbec neviem či pri zlomkoch možno určovať párnosť/nepárnosť?)

Pavel Brožek · 01. 08. 2012 00:18

↑ brodzko:

Pokud vím, tak o sudosti a lichosti se mluví jen u celých čísel.

Je vidět, že p>0 a že q-p>0, protože $0=\log 1<\log 2<\log10=1$ . Pak už nebudeš mít ten problém, na který jsem upozornil.

brodzko · 01. 08. 2012 00:33

Vďaka, takže jediné čo tomu chýba je fakt že q > p, správne?

Pavel Brožek · 01. 08. 2012 01:16

↑ brodzko:

No tak to p taky musí být nezáporné, aby $5^p$ bylo celé číslo. :-)

Rumburak

Ahoj.

Nebo rovnost $2 = 10^{\frac{p}{q}}$ umocni na $q$ . Tím dostaneš

(1) $2^{q} = 10^{p}$ .

Podle předpokladu o $q$ je levá strana rovnosti (1) příroz. číslo $\ge 2$ , proto i $10^{p}$ má tuto vlastnost a tedy i celé číslo $p$ je kladné.
Nyní přejdi od (1) k rovnosti $2^{q} = 2^{p}\cdot 5^{p}$ : její pravá strana je zřejmě dělitelná pěti, ale levá strana ne (proč ?)- SPOR.