Matematické Fórum

Tady nastala asi nějaká mýlka.. nejde o šest příkladů, ale pouze o dva!

Ta funkce v příkladu jedna je definovaná pro x > 1 jako arccos(...) a pro x<=1 jako 2x. Je to jedna funkce, která má dva předpisy!

Je jasné, co myslím?


Pozn:
* Odstranitelná nespojitost je v případě, že funkce má v daném bodě x limitu zprava a limitu zleva, které se rovnají - ten závěr příkladu jedna je tedy špatně
* Spojitost v bodě +nekonečno je podle mě hloupost, vždyť +oo není ve skutečnosti bod, na který lze ukázat, je to jen pomocný symbol.
   -- Je-li funkce v nějakém bodě spojitá, musí být definovaná i na jeho okolí a pro bod +nekonečno to nesedí, protože u něj si představujeme, že je to "poslední bod" reálné přímky. Nehledě na to, že nevím, na co by nám tato informace mohla být dobrá.

↑ kaja.marik: Aha, uz na to koukam.. proc se neinspiruje netusim, stejne by to vsak chtelo nejdrive nejaka kvalitni skripta, kde je to vysvetleno..

↑ gisat:

No co třeba se trochu zamyslet před tím, než začneš bouchat všechny možné limity které se nabízejí? Aby byla funkce spojitá v nějakém bodě x musí platit tyto dva body:

1) Daná funkce je v x definovaná.

Z následujících stačí jeden z nich

2a) Daná funkce má v x definovanou první derivaci
2b) Daná funkce má v x vlastní limitu z prava i z leva (limita zprava i zleva se rovná funkční hodnotě funkce v tomto bodě)

Obvykle je jednodušší ověřit a, ale může se stát, že není splněn a přesto je zde funkce spojitá. Standartní postup je zjistit kde všude existuje první derivace. Body, kde je funkce definovavná (splněn 1. bod) a kde nemá definovanou první derivaci (nesplněn bod 2a) jsou většinou diskrétní (tzn. jde o konkrétní body a ne intervaly).

Toto je celý algorytmus na ověřování spojitosti takovýchto jednoduše zadaných funkcí. Nikde v něm není něco jako počítání limit jdoucích do nekonečna. Nekonečno jako takové není prvkem reálných čísel a přepodkládám že se pohybujeme v reálných číslech.

Odstranitelná nespojitost je pak to, že v nějakém bodě není splněn bod 1), ale zároveň zde platí, že limita zprava i zleva existuje a tyto limity jsou si navzájem rovny. Pak v tomto bodě lze nespojitost odstranit tak, že se zde funkce dodefinuje (přidá se bod do definičního oboru) hodnotou odpovídající těmto limitám.

Možná by na tohle měli kývnou ještě matematici, protože takhle nás to učili na fyzice, kde nám záměrně zatajují tunu přebytečností :-P