Matematické Fórum

Somachr · 08. 08. 2012 18:40

Ahoj, potřeboval bych vědět jak rychle vymyslet příklady funkčních posloupností, které konvergují podle nějakých kriterií. Například teď sedím nad příkladem ve kterém mám vymyslet funkční posloupnost tak aby stejn. konvergovala na celém R, ale limitní funkce nebyla spojitá. Děkuji

chipák · 08. 08. 2012 19:09

↑ Somachr:

V tomto si nejsem tak uplně jistý, tak bych byl rád, aby se k tomu vyjádřil ještě někdo kvalifikovanější.

Napadl mě příklad takovéto posloupnosti funkcí:

$f(x)=-1$ pro $x\in$-\infty,-\frac{1}{n}$$
$f(x)=1$ pro $x\in$\frac{1}{n},\infty$$
$f(x)=0$ pro $x\in\langle-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\rangle$

Tato posloupnost funkcí konverguje k funkci signum, která není spojitá. Jen nevím, jestli k ní konverguje stejnoměrně.

vanok · 08. 08. 2012 22:05

poznamka:
Tu najdes co treba vediet o tomto pojme

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_co … continuity

a tam najdes tuto vetu, (ktora sa lahko dokaze "rozres $\epsilon$ na tri casti" )

Uniform convergence theorem. If $\scriptstyle (f_n)_n$ is a sequence of continuous functions which converges uniformly towards the function $\scriptstyle f$ on an interval $\scriptstyle S$ , then $\scriptstyle f$ is continuous on $\scriptstyle S$ as well.

Rumburak

Zdravím kolegu Vanka.

↑ chipák:

Místo $f$ jsi asi chtěl psát $f_n$ , abychom měli funkční posl. $(f_n)$ . Ta sice konverguje bodově k funkci signum, ale nikoliv sejnoměrně,
protože při označení $I_n =\langle-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\rangle$ je $\sup_{x\in I_n}|\,f_n(x) - \mathrm{sgn} \,x\,| = 1$ .

↑ Somachr:

Uvědom si, že ani funkce tvořící posloupnost pro Tvůj příklad nesmí být spojité, protože stejnoměrná limita posl. spojitých funkcí by
nemohla být nespojitá, jak tvrdí známá věta.

Nápověda: