Matematické Fórum

damates · 13. 08. 2012 13:24

Zdravím,

chtěl bych se zeptat zda jsem správně určil funkci dvou proměnných, která má být spojitá a není diferencovatelná v bodě [4,5].

Moje funkce: $f(x,y) = \sqrt{x-y}$

$D(f) = x-y\ge 0$

Tudíž po dosazení bodu do D(f) vyjde $-1\ge 0$ a to není pravda. Tak si myslím, že funkce není v bodě [4,5] diferencovatelná.

Je tento výpočet správný nebo jsem úplně vedle?

děkuji předem za pomoct

kaja.marik · 13. 08. 2012 13:48

Asi se mysli

1) je spojita v [4,5]
2) neni diferencovatelna v [4,5]

Vase funkce je sice nekde spojita (treba v bode [5,4]), ale ne v bode [4,5]. Nesplnuje tedy podminky zadani tak , jak to chapu ja.

damates · 13. 08. 2012 14:01

↑ kaja.marik:

a mohu se zeptat, jak tedy vytvořím takovou funkci, aby splňovala tyto podmínky?
nebo jsem na vytvoření šel správně jenom jsem zvolil špatnou funkci?

kaja.marik · 13. 08. 2012 17:35

Zkusil bych nejdriv sestrojit libovolnou funkci která má nějaký bod kde je spojitá a není v něm diferencovatelná a potom bych ten bod posunul do bodu [4,5]

damates

↑ kaja.marik:

Mohla by to být funkce $sgn(x-4)+6$ ? ale sgn je nespojitá funkce tak nevím.

kaja.marik

Pokud ztratime spjitost tak nam to opravdu k nicemu neni. A nezapomenout, ze hlidame dve promenne.

No kdyz to nema byt diferencovatelne a ma to byt spojite, tak by to mohlo byt neco vytvaroveneho do spicky.
Treba neco jako plast jehlanu nebo kuzele.

vanok · 13. 08. 2012 22:27 — Editoval vanok (13. 08. 2012 22:27)

Ahoj, co keby si skusil napriklad tuto funkciu
$f(x,y)=0$ ak $x\leq4$
a
$f(x,y)=x-4$ ak $x>4$ .

damates · 14. 08. 2012 12:15

↑ vanok:

možná jsem to blbě pochopil, ale z tyhle funkce $f(x,y)=x-4$ jsem nemohl dostat co potřebuji.
Už jsem z toho tak nějak asi mimo.

vanok · 14. 08. 2012 12:27 — Editoval vanok (14. 08. 2012 12:30)

Ahoj ↑ damates:,

Pozor, f je definovana podla hodnot premennej x, preto, tie dve casti v definicii.
Ta funkcia je spojita na celom $R^2$
Nema derivacie pre (4,y), y realne, tak ani v bode (4,5).

A je insprirovana tak trochu z y=|x|.

Ak hladas funkciu, ktora je spojita na $R^2$ a co nema derivaciu v jedinom bode (4,5), mozes vybrat kruhovy polkuzel (trochu abuzivne pomenovanie, lebo to je skor jej graf ) z vrcholom v (4,5).

damates · 14. 08. 2012 12:59

↑ vanok:

děkuji za rada.

Zkusil jsem to podle Vás a vyšla mi tato funkce

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … -%28y-5%29

To už by mohlo odpovídat mému zadání.

Rumburak · 14. 08. 2012 15:04

↑ damates:
Zdravím také. Pokud bys chtěl vyřešit úlohu samostatně, snad by Ti pomohlo zamyslet se nad obdobnou úlohou s funkcemi
jedné proměnné, třeba: najdi příklad funkce jedné proměnné, která je v bodě 0 spojitá , ale nemá v něm derivaci.

damates · 15. 08. 2012 13:36

↑ Rumburak:

napadla mě tato funkce jedné proměnné $f(x) = |x-4|+5$

Rumburak

↑ damates:
Funkce $f(x) = |x-4|+5$ má požadovanou vlastnost (spojitost bez derivace) v bodě $x =4$ , při tom člen $+ 5$ to nijak neovlivnil,
můžeme ho proto škrnout a vzít jednodušší funkci $f(x) = |x-4|$ . Obdobně funkce $g(y) = |y-5|$ má požadovanou vlastnost
v bodě $y = 5$ .
Za funkci $h$ dvou proměnných, která je spojitá ale ne diferencovatelná v bodě $[x, y] = [4, 5]$ , můžeme proto vzít např. funkci

(1) $h(x, y) = f(x) + g(y) = |x-4| + |y-5|$ .

Že je spojitá v libovolném bodě, je zřejmé. Pokud by v bodě $[x, y] = [4, y]$ existovala její parciální derivaci podle x, musela by se rovnat
derivaci funkce $f(x) = h(x, y) - g(y)$ v bodě $x =4$ (protože derivace $g(y)$ podle x existuje a je rovna 0), která ale - jak víme -
neexistuje.

Důležitým příkladem toto druhu je i funkce $H(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ , která je všude spojitá, při čemž bod $[x, y] = [0, 0]$ , v němž není
diferencovalená, je jediným takovým bodem. Převést tuto situaci do libovolného jiného bodu roviny jistě nebude problém.