Matematické Fórum

evik · 15. 11. 2008 16:49

Určete Jacobiho matici zobrazení f: R^2 do R^2 definovane vztahem f(x,y,z) = ( (x^y)^z , arctg((x-y)^2) )
Děkuju za pomoc

Pavel Brožek · 15. 11. 2008 16:54

Pokud víš, co je Jacobiho matice (http://cs.wikipedia.org/wiki/Jacobiho_matice), a umíš derivovat, tak je to jednoduché. Co ti není jasné?

evik · 15. 11. 2008 16:56

Neumím parcialne zderivovat x^y^z...ani ten arctg... :(

Pavel Brožek

↑ evik:

Když parciálně derivujeme podle jedné proměnné, tak ostatní jsou pro nás konstanty.

$\frac{\partial (x^{yz})}{\partial x}=yz\cdot x^{yz-1}=\frac{yzx^{yz}}{x}\nl \frac{\partial (x^{yz})}{\partial y}=\frac{\partial (\textrm{e}^{yz\ln x})}{\partial y}=\textrm{e}^{yz\ln x}\cdot\frac{\partial (yz\ln x)}{\partial y}=x^{yz}\cdot (z\ln x)$

Pro z je to stejný jako pro y.

$\frac{\partial \arctan{(x-y)^2}}{\partial x}=\frac{1}{1+$(x-y)^2$^2}\cdot\frac{\partial (x-y)^2}{\partial x}=\ldots$

evik · 15. 11. 2008 17:42

Dle mě je to nějak takto ale VUBEC si nejsem jista.... poraďte prosím

$x^{y^z} \mbox{zderivuju podle x:}\qquad y^2 \cdot x^{({y^2}-1)}\nl \mbox{dale zderivuju podle y:}\qquad x^{y^z}\cdot \ln x \cdot zy\nl \mbox{dale zderivuju podle z:}\qquad x^{y^z}\cdot \ln z\nl$
Mám alespoň toto dobře?

evik · 15. 11. 2008 17:46

↑ BrozekP:
To zadání je trošku jinak...jedná se tam o takovouto funkci, asi jsem to prvně špatně zapsala
$x^{y^z}$

Pavel Brožek · 15. 11. 2008 17:57

↑ evik:

Tahle funkce vypadá takto:

$\frac{\partial (x^{y^z})}{\partial x}=y^z\cdot x^{(y^z-1)}\nl \frac{\partial (x^{y^z})}{\partial y}=\frac{\partial (\textrm{e}^{y^z\ln x})}{\partial y}=\textrm{e}^{y^z\ln x}\cdot\frac{\partial (y^z\ln x)}{\partial y}=x^{y^z}\ln x\cdot\frac{\partial y^z}{\partial y}=x^{y^z}\ln x\cdot zy^{z-1}\nl \frac{\partial (x^{y^z})}{\partial z}=\frac{\partial (\textrm{e}^{y^z\ln x})}{\partial z}=\textrm{e}^{y^z\ln x}\cdot\frac{\partial (y^z\ln x)}{\partial z}=x^{y^z}\ln x\cdot\frac{\partial \textrm{e}^{z\ln y}}{\partial z}=x^{y^z}\ln x\cdot\textrm{e}^{z\ln y}\frac{\partial (z\ln y)}{\partial z}=x^{y^z}\ln x\cdot y^{z}\ln y$

evik · 15. 11. 2008 18:09

Pokračuju v počítání, ael vychází mi to nějak divně ...

$\frac{\partial \arctan{(x-y)^2}}{\partial x}=\frac{1}{1+$(x-y)^2$^2}\cdot\frac{\partial (x-y)^2}{\partial x}= \frac{2(x-y)}{1+$(x-y)^2$^2} \nl\mbox{pak} \nl \frac{\partial \arctan{(x-y)^2}}{\partial y}=\frac{1}{1+$(x-y)^2$^2}\cdot\frac{\partial (x-y)^2}{\partial y}= \frac{2(x-y)}{1+$(x-y)^2$^2} \nl$

Kde dělám chyby?

Pavel · 15. 11. 2008 18:19

↑ evik:

u derivace podle y Ti chybí znaménko mínus.

evik · 15. 11. 2008 18:26

Aha, a jinak to mám dobře? :)
A jak to zapsat do té Jacobiho matice? Je to jiné pro běžnou (nesloženou) funkci a jíné pro složenou funkci?

kaja.marik · 15. 11. 2008 20:38

Jak to, ze tam jsou tri promenne? je to opravdu z R^2 do R^2 ?

evik · 15. 11. 2008 20:47

Zadání mám dobře,... taky se tomu divím...

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2008 16:49

Jacobiho matice

#2 15. 11. 2008 16:54

Re: Jacobiho matice

#3 15. 11. 2008 16:56

Re: Jacobiho matice

#4 15. 11. 2008 17:33 — Editoval BrozekP (15. 11. 2008 17:34)

Re: Jacobiho matice

#5 15. 11. 2008 17:42

Re: Jacobiho matice

#6 15. 11. 2008 17:46

Re: Jacobiho matice

#7 15. 11. 2008 17:57

Re: Jacobiho matice

#8 15. 11. 2008 18:09

Re: Jacobiho matice

#9 15. 11. 2008 18:19

Re: Jacobiho matice

#10 15. 11. 2008 18:26

Re: Jacobiho matice

#11 15. 11. 2008 20:38

Re: Jacobiho matice

#12 15. 11. 2008 20:47

Re: Jacobiho matice

Zápatí