Matematické Fórum

miso16211

S bratom sa hádam, že $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots =2$

Hovorí, že je súčet furt menší jak 2, ja mu ale hovorím, počíta do nekonečna.

Problem je v tom, že ak si predstavím 1000 takych členov je to pod 2, k takých členov je to pod 2. Ale nekonečno takých členov je podla mňa 2.

k a nekonečno je rozdíl. k je ľubovoľné číslo. Nekonečno je smer alebo niečo take. Rozhodne žiadne najväčšie číslo.

Kto má pravdu? Zaokruhľuje sa to? V skutočnosti je to pod 2 alebo 2? Ako to dokázať?

hradecek

Stačí jednoducho dokázať:
$\sum_{n=0}^{\infty }2^{-n}=\;?$

P.S. toto mi veľmi pripomína (Zenónovu apóriu)Achilla a korytnačku ;o

miso16211 · 18. 08. 2012 22:47

↑ hradecek: ako? a kto ma teda pravdu?

$\sum_{n=0}^{\infty }2^{-n}=\;?$ tymto mam dokazať? a čo?

vanok · 18. 08. 2012 22:58

Ahoj ↑ miso16211:,
To mas ty pravdu
Precitaj si zatial toto
http://cs.wikipedia.org/wiki/Geometrická_posloupnost

hradecek

↑ miso16211:
$S$ bude označovať súčet, vlastne súčet geometrickej postupnosti $$\frac{1}{2}$^{n}$ , pre $q=\frac{1}{2}$

$S=\sum_{n=0}^{\infty }2^{-n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...$

Na výpočet súčtu GP existuje vzorec, ale vzorcom veľa ľudí veriť nemusí ;p

Ak to chceš bez vzorca:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek

↑ miso16211:

Součet konečného a nekonečného počtu členů je trochu jiná věc. Normálně mám definované sčítání dvou členů. Pokud chceme sečíst víc členů (ale stále konečný počet), tak to dokážeme vždy sečíst tak, že sečteme dva členy, pak znovu jen dva členy a to děláme tak dlouho, dokud nám nezbyde jeden člen. Tenhle postup vždycky skončí po konečném počtu kroků.

U nekonečného součtu takhle postupovat nemůžeme. Proto se definuje nekonečný součet jako limita posloupnosti částečných součtů. (Na to je ale potřeba znát pojem limita posloupnosti a rozumět mu.) Tj. nejdříve sečteme první dva členy, pak první tři členy, pak první čtyři členy a tak dál. Číslo, ke kterému se budeme blížit pak nazveme součtem všech nekonečně mnoha členů.

Takže ano, skutečně

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots= \sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2^k}=\nl =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac1{2^k}=\lim_{n\to\infty}$2-\frac1{2^n}$=2$ .

vanok · 18. 08. 2012 23:05

↑ hradecek:,
Tvoj "dokaz" treba presnejsie napisat. ... A to v sulade z definiciou limity.

Dokazes to urobit? Alebo mas na to otazky?

vanok · 18. 08. 2012 23:08

↑ hradecek:
Ako mozes vidiet ↑ Pavel Brožek: (ktoreho pozdravujem ) uviedol dokaz ako treba. Inspiruj sa nim.

hradecek

↑ vanok:
Ak by som chcel ísť cez limity tak by som išiel ako hovorí ↑ Pavel Brožek: ;p

edit: To by bola zrejeme aj jednoduchšia cesta, ale tipoval som, že kolega ↑ miso16211: má mladšieho brata, ktorého by limitami asi len ťažko presviedčal ;o

vanok · 19. 08. 2012 00:21

↑ hradecek:?
Ano, rozumiem tvojim pedagogickym pohnutkam.
Ale prave tvoje pisanie, niekoho nepresveci, a bez limity, si v tej istej paradoxnej situacii o ktorej si na zaciatku pisal
citujem ta: P.S. toto mi veľmi pripomína (Zenónovu apóriu)Achilla a korytnačku ;o

A pochopitelne, toto je tazko vysvetlovat na strednej skole, kde pojem cisla, a specialne realneho cisla, je len intuitivne uvedeny.

No urcite nam kolega napise, ci je mu je limita, ktora ho zaujala, teraz jasna...

Dobru noc a dobre pokracovanie.

jarrro · 19. 08. 2012 10:31 — Editoval jarrro (19. 08. 2012 10:31)

podľa mňa je prvotný problém ten, že si Mišov brat myslí, že ak je každý člen postupnosti menší ako nejaké číslo tak to isté platí aj o limite čo nie je pravda jediné čo sa dá povedať, je že limita nebude väčšia, ale rovnať sa môže napr. postupnosť $a_n=-\frac{1}{n}$ má za limitu číslo nula, ale každý člen je záporný

miso16211 · 19. 08. 2012 13:09

$S=1+\[$1-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$...\]$ $S=1+\[1+\underbrace{$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$}_{0}+\underbrace{$-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$}_{0}-\frac{1}{8}...\]$

tento dôkaz asi najlepšie vystihuje, čo som mal na mysli, nemuseli ste každý tu takto vybafnut tolik kolem zakladného kameňa (1+ 1/2 + ... = 2)

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2012 21:38 — Editoval miso16211 (18. 08. 2012 21:58)

Jak si poradiť s nekonečnom

#2 18. 08. 2012 22:25 — Editoval hradecek (18. 08. 2012 22:33)

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#3 18. 08. 2012 22:47

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#4 18. 08. 2012 22:58

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#5 18. 08. 2012 23:00 — Editoval hradecek (18. 08. 2012 23:02)

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#6 18. 08. 2012 23:01 — Editoval Pavel Brožek (18. 08. 2012 23:04)

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#7 18. 08. 2012 23:05

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#8 18. 08. 2012 23:08

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#9 18. 08. 2012 23:09 — Editoval hradecek (18. 08. 2012 23:11)

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#10 19. 08. 2012 00:21

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#11 19. 08. 2012 10:31 — Editoval jarrro (19. 08. 2012 10:31)

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

#12 19. 08. 2012 13:09

Re: Jak si poradiť s nekonečnom

Zápatí