Matematické Fórum

drabi · 18. 08. 2012 15:02

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s tímto příkladem:

Spočtěte:
$F(a) = \int_0^\infty \frac{\ln(1 + ax^2)}{x^2(1+x^2)} \mathrm{d}x$

nejdřív bych měla zjistit, pro která $a \in \mathbb{R}$ je integrál konvergentní, jenže už tady nejspíš dělám nějakou chybu, protože údajně to má vyjít pro $a \ge 0$

vím, že $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1 + ax^2)}{ax^2} = 1$ , tedy $\int_0^\infty \frac{\ln(1 + ax^2)}{x^2(1+x^2)} \mathrm{d}x < \infty \Leftrightarrow \int_0^\infty \frac{a}{1+x^2} \mathrm{d}x < \infty$
a $\int_0^\infty \frac{a}{1+x^2} \mathrm{d}x = a [\text{arctg}(x)]^\infty_0 = \frac{a \pi}{2}, a \in \mathbb{R}$
tak nevím, kde dělám chybu, budu ráda za jakoukoliv připomínku

potom pokračuju následovně:
$F'(a) = \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax^2)(1+x^2)} \mathrm{d}x =\int_0^\infty \frac{a}{(a-1)(1+ax^2)} - \frac{1}{(a-1)(1+x^2)} \mathrm{d}x = \[\frac{\sqrt{a} \text{arctg}(\sqrt{a}x)}{a-1} - \frac{\text{arctg}(x)}{a-1}\]^\infty_0 = \frac{\pi(\sqrt{a} -1)}{2(a-1)}$

podle tohoto odkazu(př.č.2) však musím postupovat nějak špatně, protože mi nic podobného, jako je tam popsáno, nevychází.
Mohl by mi s tím někdo prosím poradit?

jarrro · 19. 08. 2012 11:41

pre záporné a to nemá zmysel, lebo funkcia nie je definovaná na intervale
$\left(\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}},\infty\right)$

drabi · 19. 08. 2012 11:43

↑ jarrro:
jo jasně, díky a s tím zbytkem myslíš, že je to správně?

jarrro · 19. 08. 2012 11:52

derivácia je hádam správne ale pýtajú sa priamo na funkciu ešte to treba potom zintegrovať

drabi · 19. 08. 2012 11:53

↑ jarrro:
no jasne, diky kouknu na to a pak to tu dopisu:)

drabi · 19. 08. 2012 12:31

takze
$F(a) = \int \frac{\pi(\sqrt{a} -1)}{2(a-1)} \mathrm{d}a = \pi \sqrt{a} - \pi \ln(\sqrt{a} + 1)$ ,
ale toto nemuzu tvrdit pro $a = 1$ , takze musim jeste urcit F(1) a to urcim diky spojitosti funkce F na definicnim oboru, takze $F(1) = \pi - \pi \ln{2}$ (??) je to tak?

jarrro · 19. 08. 2012 15:19

áno aj wolframalpha súhlasí

drabi · 19. 08. 2012 15:38

↑ jarrro:
diky

Rumburak

↑ drabi:

Nebo v integrandu proveď upravu $\frac{\sqrt{a} -1}{a-1} = \frac{1}{\sqrt{a}+1}$ .

V případné písemce by mělo být i zdůvodnění, proč je možné pořadí integrálu a derivace zaměnit.

drabi · 21. 08. 2012 11:05

↑ Rumburak:
tak tam budu muset najit nejakou integrovatelnou majorantu, pravdepodobne lokalni, ktera neni zavisla na parametru a..
tedy fce $f(b,x) = \frac{b}{1+x^2}, x \in (0,\infty), b \in (0,a)$ je integrovatelna a je to nase hledana majoranta (?)

Rumburak · 21. 08. 2012 11:27

↑ drabi:

Majoranta je zvolena dobře. Myslím, že by mělo stačit $b > 1$ , protože pak

$\frac{1}{(1+ax^2)(1+x^2)} < \frac{b}{1+x^2}$ i pro $a = 0$ ,

ale možná že ani tak přísní být nemusíme - nejsem si úplně jist, musel bych se podívat do literatury,
kterou ale nemám po ruce.

drabi · 21. 08. 2012 11:36

↑ Rumburak:
ted me napada a nestacilo by to, ze $\frac{1}{(1+ax^2)(1+x^2)} < \frac{1}{(1+x^2)}$

Rumburak · 21. 08. 2012 15:12

↑ drabi:

Pro $a>0$ by to určitě stačilo, ale nejsem si právě jist, zda i pro $a = 0$ (k určení derivace zprava).

drabi · 21. 08. 2012 15:31

↑ Rumburak:
tak to muzu rozdelit prave na ty dva pripady, pro a>0 to mame hotove a pro a=0 je ten integral nulovy.. slo by to tak?

Rumburak

↑ drabi:
To samozřejmě ano. Původně jsem totiž nějak měl dojem, že spočítat $F'(a)$ , a to i pro a = 0 (zprava), je úkolem.

drabi · 21. 08. 2012 15:57

↑ Rumburak:
v tom pripade by se tam musela udelat ta lokalni majoranta.. kazdopadne diky moc:)

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2012 15:02

záměna integrálu a derivace

#2 19. 08. 2012 11:41

Re: záměna integrálu a derivace

#3 19. 08. 2012 11:43

Re: záměna integrálu a derivace

#4 19. 08. 2012 11:52

Re: záměna integrálu a derivace

#5 19. 08. 2012 11:53

Re: záměna integrálu a derivace

#6 19. 08. 2012 12:31

Re: záměna integrálu a derivace

#7 19. 08. 2012 15:19

Re: záměna integrálu a derivace

#8 19. 08. 2012 15:38

Re: záměna integrálu a derivace

#9 21. 08. 2012 09:39 — Editoval Rumburak (21. 08. 2012 09:43)

Re: záměna integrálu a derivace

#10 21. 08. 2012 11:05

Re: záměna integrálu a derivace

#11 21. 08. 2012 11:27

Re: záměna integrálu a derivace

#12 21. 08. 2012 11:36

Re: záměna integrálu a derivace

#13 21. 08. 2012 15:12

Re: záměna integrálu a derivace

#14 21. 08. 2012 15:31

Re: záměna integrálu a derivace

#15 21. 08. 2012 15:38 — Editoval Rumburak (21. 08. 2012 15:39)

Re: záměna integrálu a derivace

#16 21. 08. 2012 15:57

Re: záměna integrálu a derivace

Zápatí