Matematické Fórum

vanok · 13. 08. 2012 16:20 — Editoval vanok (13. 08. 2012 16:21)

Mala pradzninova uloha:
Dokazte, ze v akejkolvek ciselnej sustave
$10101$ je zlozene cislo.

A este jedna trochu tazsia:
Dokazte, ze sucin 5-tych po sebe iducich positivnych ( $>0$ ) cisiel nie je nikdy stvorec nejakeho celeho cisla.

jarrro · 13. 08. 2012 18:42

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 13. 08. 2012 18:53 — Editoval vanok (13. 08. 2012 23:21)

Ahoj ↑ jarrro:,
Ano to je klucova idea tohto stredoskolskeho cvicenia.
Dufajme, ze kazdy stredoskolak ju dokaze dokazat a ze je schopny redigovat kompletny podrobny dokaz
Ide o pouzitie uzitocnej Argand-ovej identity.
Pridavam tu uzitocnu stranu z pozoruhodnyny identitamy
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3 … d.27Argand

vanok · 20. 08. 2012 20:24 — Editoval vanok (20. 08. 2012 23:13)

Pozdravujem.

Ako vidim, toto cvicenie
Dokazte, ze sucin 5-tych po sebe iducich positivnych ( $>0$ ) cisiel nie je nikdy stvorec nejakeho celeho cisla.
sa este nepohlo.

Tak davam navod, na jedno jeho mozne riesenie.

Najprv pozorovanie
Cislo $N=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$
je jasne ze toto cislo ma
dva alebo tri cleny ktore obsahuju mocniny cisla 2
jeden alebo dva cleny ktore obsahuju mocniny cisla 3
jeden clen clen ktory obsahuje mocninu cisla 5
a najviac jeden clen pre kazde prvocislo striktne vadcie ako 5.

Teraz predpokladajme, ze $N$ je dokonaly stvorec
to znamena, ze kazde z cisiel $n;...;n+4$ je formy
$2^a3^b5^{2c}7^{2d}...$ kde $(a\geq0, b\geq 0,c\geq1, d\geq 0, ...)$ a
$N$ je formy
$2^A3^B5^{2c}7^{2d}...$ kde $(A\geq2, B\geq 1,c\geq1, d\geq 0, ...)$

Teraz, treba studovat N, podla hodnot $a; b$ , kazdeho $n+j$ kde $0 \leq j \leq 4$

Dobre pokracovanie.

vanok · 21. 08. 2012 18:35

pomoc pokracovanie

Lahko prideme k tomuto vysledku
Kazde z cisiel $n;...;n+4$ musi mat jednu z tychto foriem
$k^2;2k^2;3k^2; 6k^2$
Akoze mame 5 cisiel $n;...;n+4$ tak dva cisla musia mat taku istu formu.( vdaka Diriclet-ovmu priehradkovemu principu)

Dufam, ze teraz uz niekto nam da uplny dokaz.

check_drummer · 21. 08. 2012 19:38

↑ vanok:
Ahoj, proč se v daném čísle vyskytují 5 a 7 v sudé mocnině? Děkuji.

BakyX · 21. 08. 2012 19:57

↑ check_drummer:

Pretože medzi číslami $n, n+1, n+2, n+3,n+4$ je práve jedno alebo žiadne deliteľné prvočíslom $p \ge 5$ . Nakoľko je podľa predpokladu ich súčin štvorec, tak potom rovno $p^2$ delí to príslušné číslo.

vanok · 21. 08. 2012 22:41

↑ check_drummer:
pozdravujem,
kolega ↑ BakyX: to dokonale objasnil.

anes · 22. 08. 2012 01:31 — Editoval anes (22. 08. 2012 11:20)

Ahoj, promiň vanok, že Ti tu trochu nabourám pečlivě budované téma. To řešení, které jsi už téměř dotáhl, je asi takové nejpřirozenější a v principu nenavrhnu nic jiného, ale přijde mi to jako hezký příklad situace, kdy drobná změna zápisu usnadní práci.

EDIT: Tak horké to s tím usnadněním nebude, viz ↑ BakyX:.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jinak si myslím, že to zakončení důkazu je v mé varianě trochu jiné, než kam vede postup ↑ vanok:, tak tam ten závěrečný argument může dodat ještě někdo jiný :)

Mimochodem ta věta "Tak davam navod, na jedno jeho mozne riesenie" byl jenom takový disclaimer, že to může jít i snáz, nebo máš v záloze i jiné postupy?